费马小定理
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###内容:
若 \(gcd(a,p)=1\) 且 \(p\) 为素数,则
\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)
###引理1
若 \(gcd(c,p)=1\) ,且 \(ac \equiv bc \pmod p\),则 \(a\equiv b \pmod p\)
证:
\(\because ac \equiv bc \pmod p\)
\(\therefore ac-bc=kp\)
\(\therefore c(a-b)=kp\)
\(\because gcd(c,p)=1\)
\(\therefore (a-b)=kp\)
\(\therefore a-b \equiv 0 \pmod p\)
\(\therefore a \equiv b \pmod p\)
###引理2
若 \(a_1\) , \(a_2\) , \(\dots\) ,\(a_{p}\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系,且 \(gcd(b,p)=1\) ,
则 \(b*a_1\) , \(b*a_2\) , \(\dots\) , \(b*a_{p}\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系。
证:
假设有一对 \((i,j)\), 使得
\(b*a_i \equiv b*a_j \pmod m\)
因为 \(gcd(b,p)=1\),又根据引理1,得到
\(a_i \equiv a_j \pmod m\)
与题意矛盾,故假设不成立。则根据鸽巢原理,此引理成立。
###费马小定理
证:
不妨构造模 \(p\) 意义下的完全剩余系 \(1\) , \(2\) , \(\dots\) ,\(p-1\)
设:\(a \in N_{+}\) 且 \(gcd(a,p)=1\)
则根据引理2得到 \(a*1\) , \(a*2\) , \(\dots\) , \(a*(p-1)\) 为 \(\bmod p\) 意义下的完全剩余系
所以
\(1*2*\dots*(p-1) \equiv a*(2*a)*(3*a)*\dots*a*(p-1) \pmod p\)
化简得
$$(p-1)! \equiv a^*(p-1)! \pmod p \dots (1) $$
因为 \(p\) 为质数,所以有
\(gcd((p-1)!,p)=1\)
那么(1)两边可同除 \((p-1)!\),得到
\(\frac{(p-1)!}{(p-1)!} \equiv a^{p-1}* \frac{(p-1)!}{(p-1)!} \pmod p\)
所以有
\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)