简单的数学题
link
原式
枚举
把
设函数
则原式等于
可以看出是数论分块,其中立方部分和为
求出前缀做差即可
考虑快速求
而对于
用
所以有
到了此刻已经非常容易求了,数论分块即可,其中
做法同立方和,前缀做差
考虑预处理
那么需要快速求得
发现这就是与
详细证明参考链接
带回原式得到
线性筛预处理即可
Code:
#pragma GCC optimize(2)
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cassert>
#define Mod p
#define LL long long
#define N 5000000
template<class T>
inline void read(T &x){
x=0;char c=getchar();T flag=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
x*=flag;
}
LL n,p,inv,inv6;
int cnt,P[N];
bool mark[N];
LL phi[N],f[N],F[N];
inline LL qpow(LL a,LL b){
if(!b) return 1LL;
if(b==1LL) return a;
LL t=qpow(a,b>>1LL);
t=t*t%Mod;
if(b&1LL) t=t*a%Mod;
assert(t>=0);
return t;
}
inline LL pow2(LL x){//平方前缀和
return ((inv6*x)%Mod)*(((x+1LL)%Mod)*((2LL*x+1LL)%Mod)%Mod)%Mod;
}
inline LL pow2(LL l,LL r){平方区间和
return ((pow2(r)-pow2(l-1LL))%Mod+Mod)%Mod;
}
inline LL pow3(LL x){立方前缀和
return qpow(((x%Mod)*(x+1LL)%Mod)*inv%Mod,2LL);
}
inline LL pow3(LL l,LL r){立方区间和
return ((pow3(r)-pow3(l-1LL))%Mod+Mod)%Mod;
}
inline void Prework(int x){//线性筛预处理 f(n)
cnt=0;
f[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=x;++i){
if(!mark[i]){
P[cnt++]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=0;j<cnt&&i*P[j]<=x;++j){
mark[i*P[j]]=1;
if(!(i%P[j])){
phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j];
break;
}else phi[i*P[j]]=phi[i]*(P[j]-1);
}
LL ret=qpow(i,2LL)*phi[i]%Mod;
f[i]=(f[i-1]+ret)%Mod;
}
}
inline LL solve(LL x){//杜教筛
if(x<=N-3) return f[x];
if(~F[n/x]) return F[n/x];
F[n/x]=qpow(((x%Mod)*((x+1)%Mod)%Mod)*inv%Mod,2);
for(LL l=2,r;l<=x;l=r+1){
r=x/(x/l);
F[n/x]=((F[n/x]-(pow2(l,r)*solve(x/l)%Mod))%Mod+Mod)%Mod;
}
return F[n/x];
}
int main(){
memset(F,-1,sizeof(F));
read(p),read(n);
inv=qpow(2LL,p-2);//2的逆元
inv6=qpow(6LL,p-2);//6的逆元
Prework(N-3);
LL ans=0;
for(LL l=1,r;l<=n;l=r+1){//原式
r=n/(n/l);
ans=(ans+(pow3(l,r)*solve(n/l))%Mod)%Mod;
}
printf("%lld",ans);
}
/*
998244353 2
*/
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 智能桌面机器人:用.NET IoT库控制舵机并多方法播放表情
· Linux glibc自带哈希表的用例及性能测试
· 深入理解 Mybatis 分库分表执行原理
· 如何打造一个高并发系统?
· .NET Core GC压缩(compact_phase)底层原理浅谈
· 手把手教你在本地部署DeepSeek R1,搭建web-ui ,建议收藏!
· 新年开篇:在本地部署DeepSeek大模型实现联网增强的AI应用
· Janus Pro:DeepSeek 开源革新,多模态 AI 的未来
· 互联网不景气了那就玩玩嵌入式吧,用纯.NET开发并制作一个智能桌面机器人(三):用.NET IoT库
· 【非技术】说说2024年我都干了些啥