动态规划 0-1背包问题
动态规划:
设计一个动态规划算法,通常可按照以下几个步骤进行:
(1) 找出最优解的性质,并刻画其结构特征。
(2) 递归地定义最优解的值
(3) 以自底而上的方式计算出最优值
(4) 根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。
对于一个给定的问题,若具有以下两个性质,则可以考虑用动态规划法来求解。
(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解,就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时,提示我们动态规划法可能会适用,但是此时贪心策略可能也是适用的。
(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题,而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时,就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解,则每次遇到子问题都会视为新问题,会极大地降低算法的效率,而动态规划法总是充分利用重叠子问题,对于每个子问题仅计算一次,把解保存在一个在需要时就可以查看的表中,而每次查表的时间为常数。
问题:有n个物品,第i个物品价值为vi,重量为wi,其中vi和wi均为非负数,背包的容量为W,W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品,使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下:
目标函数为 :
约束条件为:
满足约束条件的任一集合(x1,x2,...,xn)是问题的一个可行解,问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例,假设n=5,W=17, 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1,2和5装入背包,背包未满,获得价值22,此时问题解为你(1,1,0,0,1)。也可以将物品4和5装入背包,背包装满,获得价值24,此时解为(0,0,0,1,1)。
下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。
(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。
可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程,即决定哪些物品应该放入背包,哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n,即xn=1,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即xn=0,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W时的最优解。
(2)递归定义最优解的值
根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时,i个物品导致的最优解的总价值,得到下式。显然要求c[n,w]。
(3)计算背包问题最优解的值
java程序实现:
c[i][w]矩阵如下表所示:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0 0 0 4 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
0 0 0 4 5 5 5 10 10 10 14 15 15 15 19 19 19 19
0 0 0 4 5 5 5 10 11 11 14 15 16 16 19 21 21 21
0 0 0 4 5 5 5 10 11 13 14 15 17 18 19 21 23 24
(4)根据计算的结果,构造问题最优解。
根据上一步计算的c数组,很容易构造问题的最优解。判断c[i,w]与c[i-1,w]的值是否相等,若相等,则说明xi=0,否则为1。具体代码在3中。
这种方法有一定的好处,能够消除递归,还能直观的得出findpath()的结果
递归实现DP
- int dp(int n, int W, int *v, int *wei)
- {
- if (n == 0 || W == 0)
- return 0;
- else if (wei[n - 1] > W)
- return dp(n - 1, W, v, wei);
- else
- {
- int valueA = dp(n - 1, W - wei[n - 1], v, wei) + v[n - 1];
- int valueB = dp(n - 1, W, v, wei);
- return valueA > valueB ? valueA : valueB;
- }
- }
参考:http://blog.csdn.net/yeepom/article/details/8712224
posted on 2017-07-13 17:33 WenjieWangFlyToWorld 阅读(130) 评论(0) 编辑 收藏 举报