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动态规划 0-1背包问题

动态规划:

设计一个动态规划算法,通常可按照以下几个步骤进行:

(1) 找出最优解的性质,并刻画其结构特征。

(2) 递归地定义最优解的值

(3) 以自底而上的方式计算出最优值

(4) 根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。

对于一个给定的问题,若具有以下两个性质,则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解,就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时,提示我们动态规划法可能会适用,但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题,而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时,就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解,则每次遇到子问题都会视为新问题,会极大地降低算法的效率,而动态规划法总是充分利用重叠子问题,对于每个子问题仅计算一次,把解保存在一个在需要时就可以查看的表中,而每次查表的时间为常数。

问题:有n个物品,第i个物品价值为vi,重量为wi,其中vi和wi均为非负数,背包的容量为W,W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品,使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下:

       目标函数为 :     

       约束条件为:

       满足约束条件的任一集合(x1,x2,...,xn)是问题的一个可行解,问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例,假设n=5,W=17, 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1,2和5装入背包,背包未满,获得价值22,此时问题解为你(1,1,0,0,1)。也可以将物品4和5装入背包,背包装满,获得价值24,此时解为(0,0,0,1,1)。

      下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。

      可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程,即决定哪些物品应该放入背包,哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n,即xn=1,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即xn=0,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W时的最优解。

(2)递归定义最优解的值

     根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时,i个物品导致的最优解的总价值,得到下式。显然要求c[n,w]。

 

(3)计算背包问题最优解的值

java程序实现:

  1. package program;  
  2.   
  3. /*** 
  4.  * c[i][w]表示背包容量为w时,i个物品导致的最优解的总价值,大小为(n+1)*(w+1) v[i]表示第i个物品的价值,大小为n 
  5.  * w[i]表示第i个物品的重量,大小为n 
  6.  ***/  
  7. public class ZeroAndOneBag {  
  8.   
  9.     void DP(int n, int W, int[][] c, int[] v, int[] wei) {  
  10.   
  11.         for (int i = 1; i <= n; i++) {  
  12.             c[i][0] = 0;  
  13.             for (int w = 1; w <= W; w++) {  
  14.                 if (wei[i - 1] > w) // 此处比较是关键 看如果放不进去就设为刚刚的值  
  15.                 {  
  16.                     c[i][w] = c[i - 1][w];  
  17.                 } else {  
  18.                     int temp = c[i - 1][w - wei[i - 1]] + v[i - 1]; // 注意wei和v数组中的第i个应该为wei[i-1]和v[i-1]  
  19.                     if (c[i - 1][w] > temp) {  
  20.                         c[i][w] = c[i - 1][w];  
  21.                     } else  
  22.                         c[i][w] = temp;  
  23.                 }  
  24.             }  
  25.         }  
  26.     }  
  27.   
  28.     void findPath(int[][] c, int[] x, int[] wei, int n, int W) {  
  29.         int w = W;  
  30.         for (int i = n; i >= 2; i--) {  
  31.             if (c[i][w] == c[i - 1][w]) {  
  32.                 x[i - 1] = 0;  
  33.             } else {  
  34.                 x[i - 1] = 1;  
  35.                 w = w - wei[i - 1];  
  36.             }  
  37.         }  
  38.         if (c[1][w] == 0)  
  39.             x[0] = 0;  
  40.         else  
  41.             x[0] = 1;  
  42.     }  
  43.   
  44.     public static void main(String[] args) {  
  45.         ZeroAndOneBag zeroAndOneBag = new ZeroAndOneBag();  
  46.         int n = 5;  
  47.         int W = 17;  
  48.         int[] w = { 3, 4, 7, 8, 9 };  
  49.         int[] v = { 4, 5, 10, 11, 13 };  
  50.         int[][] c = new int[6][18];  
  51.   
  52.         zeroAndOneBag.DP(n, W, c, v, w);  
  53.   
  54.         System.out.println("最后最大的价值为:" + c[5][17]);  
  55.         System.out.println("生成数组的值为:");  
  56.         for (int i = 0; i < c.length; i++) {  
  57.             for (int j = 0; j < c[0].length; j++) {  
  58.                 System.out.print(c[i][j] + " ");  
  59.             }  
  60.             System.out.println("");  
  61.         }  
  62.         int[] x = new int[5];  
  63.         zeroAndOneBag.findPath(c, x, w, n, W);  
  64.         for (int i = 0; i < n; i++)  
  65.             System.out.print(x[i] + " ");  
  66.         System.out.println("");  
  67.     }  
  68.   
  69. }  

运行结果:

最后最大的价值为:24
生成数组的值为:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0 0 0 4 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
0 0 0 4 5 5 5 10 10 10 14 15 15 15 19 19 19 19
0 0 0 4 5 5 5 10 11 11 14 15 16 16 19 21 21 21
0 0 0 4 5 5 5 10 11 13 14 15 17 18 19 21 23 24
0 0 0 1 1

 

上述代码的时间复杂度为O(nw)。

c[i][w]矩阵如下表所示:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0 0 0 4 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
0 0 0 4 5 5 5 10 10 10 14 15 15 15 19 19 19 19
0 0 0 4 5 5 5 10 11 11 14 15 16 16 19 21 21 21
0 0 0 4 5 5 5 10 11 13 14 15 17 18 19 21 23 24

(4)根据计算的结果,构造问题最优解。

     根据上一步计算的c数组,很容易构造问题的最优解。判断c[i,w]与c[i-1,w]的值是否相等,若相等,则说明xi=0,否则为1。具体代码在3中。

 

这种方法有一定的好处,能够消除递归,还能直观的得出findpath()的结果

递归实现DP

  1. int dp(int n, int W, int *v, int *wei)  
  2. {  
  3.     if (n == 0 || W == 0)  
  4.         return 0;  
  5.     else if (wei[n - 1] > W)  
  6.         return dp(n - 1, W, v, wei);  
  7.     else  
  8.     {  
  9.         int valueA = dp(n - 1, W - wei[n - 1], v, wei) + v[n - 1];  
  10.         int valueB = dp(n - 1, W, v, wei);  
  11.         return valueA > valueB ? valueA : valueB;  
  12.     }  
  13. }  

 参考:http://blog.csdn.net/yeepom/article/details/8712224

posted on 2017-07-13 17:33  WenjieWangFlyToWorld  阅读(131)  评论(0编辑  收藏  举报