《统计学习方法》笔记一 统计学习方法概论
本系列笔记内容参考来源为李航《统计学习方法》
统计学习
统计学习时关于计算机基于数据构建概率统计模型 并运用模型 对数据进行预测与分析。
统计学习的三要素：
方法 = 模型+策略+算法
统计学习由监督学习、非监督学习、半监督学习和强化学习等组成。
实现统计学习方法的具体步骤如下：
（1）得到一个有限的训练数据集合；
（2）确定包含所有可能的模型的假设空间，即学习模型的集合；
（3）确定模型选择的准则，即学习的策略；
（4）实现求解最优模型的算法，即学习的算法；
（5）通过学习方法选择最优模型；
（6）利用学习的最优模型对数据进行预测或分析。
监督学习
一些基本概念：
- 输入空间、特征空间、输出空间
输入与输出所有可能取值的集合成为输入空间与输出空间。每个具体的输入是一个实例，通常由特征向量表示，所有特征向量存在的空间成为特征空间。
特征空间每一维对应一个特征，有时对输入空间与特征空间不加以区分，有时假设输入空间与特征空间为不同的空间，将实例从输入空间映射到特征空间。模型实际上都是定义在特征空间上的。
根据输入、输出变量的不同类型，对预测任务给予不同的名称：
回归问题：输入、输出变量均为连续变量的预测问题；
分类问题：输出变量为有限个离散变量的预测问题；
标注问题： 输入、输出变量均为变量序列的预测问题
监督学习的任务就是学习一个模型，应用这一模型，对给定的输入预测相应的输出，这个模型的一般形式为决策函数：Y=f(X)或者条件概率分布P(Y|X)
统计学习三要素
模型
模型就是要学习的条件概率分布或决策函数。模型的假设空间包含所有可能的条件概率分布或决策函数。
空间用F表示，假设空间可以定义为决策函数的集合，即：
F通常是由一个参数向量来决定的条件概率分布族
假设空间也可以定义为条件概率的集合
此时有
策略
- 经验风险最小化
- 结构风险最小化（正则化）
有了假设空间，考虑如何在假设空间中选取最优模型，因此引入损失函数和风险函数等来度量模型的好坏。
损失函数度量模型一次预测的好坏，风险函数度量平均意义下模型预测的好坏。
损失函数是f(X)和Y的非负实值函数，记做 L(Y,f(X))
常用的损失函数：
这是理论上模型f(X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失，称为风险函数或期望损失。
经验风险或经验损失：
选择令期望损失值最小的模型即为学习的目标，但是联合分布未知因此Rexp不能直接计算，但如知道了联合分布，可直接计算条件概率分布P(Y|X)，也就不需要学习。因此监督学习成为一个病态问题。
根据大数定律，当样板容量趋于无穷，经验风险趋于期望风险，但实际中训练样本数量有限，因此用经验风险估计期望风险不理想，需进行矫正，则涉及监督学习的两个基本策略：经验风险最小化和结构风险最小化。
经验风险最小化（empirical risk minimization，ERM）
ERM认为，经验风险最小的模型最优，则最优模型可转换为：
当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等价于极大似然估计。
F为假设空间，当样本容量足够大，学习效果较好，但样本容量很小时，容易过拟合，则引申出结构风险最小化。
结构风险最小化（structural risk minimization,SRM）/正则化
在ERM基础上加上表示模型复杂度的正则化项或罚项，定义如下
其中J(f)为模型的复杂度，是定义在假设空间F上的泛函，模型f越复杂，J(f)越大。lamda是系数，≥0，用以权衡ERM和模型复杂度。
则SRM最小化将求最优模型转换为求解最优问题：
当模型是条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型的先验概率表示时，结构风险最小化就等价于最大后验概率估计。
算法
指学习模型的具体计算方法
模型评估与模型选择
训练误差与测试误差
正则化与交叉验证
正则化一般形式如下：
第一项为经验风险，第二项为正则化项目，正则化项可取不同的形式。经验风险较小的模型可能较复杂（有多个非零参数），则第二项模型复杂度会较大，正则化的作用是选择经验风险与模型复杂度同时小的模型。
从贝叶斯估计角度看，正则化项对应模型的先验概率，可假设复杂的模型有较大的先验概率，简单的模型有较小的先验概率。
若样本充足，可随机将数据集分为训练集、验证集和测试集，验证集用于模型选择，在学习到的不同复杂度的模型中，选择对验证集有最小预测误差的模型。但实际中数据不够，因此采用交叉验证，即重复利用数据，将给定数据划分为训练集与测试集，反复训练、测试及模型选择。
- 简单交叉验证
随机将数据分为训练集和测试集，用训练集在各条件下训练模型，在测试集上评价各个模型的测试误差，选出测试误差最小的模型
- S折交叉验证
随机将数据切分为S个互不相交的大小相同的子集，利用S-1个子集的数据训练模型，利用余下的子集测试模型，重复进行算出S次评测中平均测试误差最小的模型
- 留一交叉验证
当S=N时，N为给定数据集的容量
泛化能力
指由该方法学习到的模型对未知数据的预测能力。泛化误差相当于所学习到的模型的期望风险。
泛化误差上界（泛化误差概率上界）
它是样本容量的函数，样本容量增加，泛化上界趋于0；是假设空间容量的函数，假设空间容量越大，模型越难学，泛化误差上界越大。
R(f)为期望风险，R^为经验风险。
生成模型与判别模型
分类问题
