2024年武汉大学电信算法与数据结构期末复习随记

期末复习

易错点

叶子结点以外的结点称为分支结点


时间复杂度


1.4

(1) \(O(nm)\)

(2) \(O(n^2)\)

(3) \(O(n^2)\)

(4) \(O(log_3n)\)

线性表




栈与队列



String类


树与二叉树


树的定义与二叉树的性质






二叉树遍历的过程

先序遍历：中 左 右

中序遍历：左 中 右

后序遍历：左 右 中

二叉树遍历的递归算法


二叉树遍历的非递归算法

层次遍历二叉树

二叉树的建立

对于完全二叉树，可以把树存储在一个数组中

但是对于大多数的二叉树，需要用链的形式来储存来减少空间的浪费

节点类型的定义

template <typename T>
struct BTNode{
  T data;
  BTNode<T> *left;
  BTNode<T> *right;
  BTNode(const T& k):data(k),left(nullptr),right(nullptr){};
  BTNode():data{},left(nullptr),right(nullptr){};
  ~BTNode(){ }
};

二叉树类的定义

template <typename T>
class BTree {
protected:
	BTNode<T>* _root;
public:
	BTree():_root(nullptr){}
	const BTNode<T>* root() const { return _root; }
	BTNode<T>*& root() { return _root; }

	void dispose()//删除二叉树
	{
		if (_root != nullptr)
		{
			dispose(_root);
			_root = nullptr;
		}
	}

	void dispose(BTNode<T>* p)
	{
		if (p != nullptr)
		{
			dispose(p->left);
			dispose(p->right);
		}
		delete p;
	}
};

根据顺序表建立二叉树

template <typename T>
void byArray(const T* pt, int cnt, BTree<T>* bt)
{
	int n = cnt;
	if (n == 0)
		bt->root() = nullptr;
	int i, j;
	BTNode<T>** q = new BTNode<T>*[n];
	for (i = 0; i < n; i++)
		q[i] = new BTNode<T>(pt[i]);

	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		j = 2 * i + 1;
		if (j < n)
			q[i]->left = q[j];
		else
			q[i]->left = nullptr;
		j++;
		if (j < n)
			q[i]->right = q[j];
		else
			q[i]->right = nullptr;
	}
	bt->root() = q[0];
}

根据广义表构建二叉树

template <typename T>
struct ListFlags {
	T NullSubtreeFlag;
	T LeftDelimitFlag;
	T RightDelimitFlag;
	T MiddleDelimitFlag;
};
static int idx = 0;
static void* pListFlags = nullptr;


template <typename T>
BTNode<T>* rootByGList(T* sList)
{
	BTNode<T>* p = nullptr;
	T nodeData = sList[idx];
	ListFlags<T>* pFlags = (ListFlags<T>*)pListFlags;
	if (isData(nodeData, pFlags))
	{
		p = new BTNode<T>(nodeData);
		idx++;
		nodeData = sList[idx];
		if (nodeData == pFlags->LeftDelimitFlag)
		{
			idx++;
			p->left = rootByGList(sList);
			idx++;
			p->right = rootByGList(sList);
			idx++;
		}
	}
	if (nodeData == pFlags->NullSubtreeFlag)
		idx++;
	return p;
}

template <typename T>
void byGList(T* sList, int cnt, BTree<T>* bt, const ListFlags<T>* pCustomListFlags = nullptr)
{
	idx = 0;
	ListFlags<T> DefaultFlags{ '^','(',')',',' };

	if (cnt > 0)
	{
		ListFlags<T>* p;
		if (pCustomListFlags != nullptr)
			p = (ListFlags<T>*)pCustomListFlags;
		else
			p = &DefaultFlags;
		pListFlags = p;
		bt->root() = rootByGList(sList);
	}
	else
		bt->root() = nullptr;
	return;
}



template <typename T>
bool isData(const T& nodeValue, const ListFlags<T>* pFlags)
{
	if (nodeValue == pFlags->NullSubtreeFlag) return false;
	if (nodeValue == pFlags->LeftDelimitFlag) return false;
	if (nodeValue == pFlags->RightDelimitFlag) return false;
	if (nodeValue == pFlags->MiddleDelimitFlag) return false;
	else return true;
}

根据先根和中根次序建立二叉树

template <typename T>
BTNode<T>* rootBy2Lists(vector<T>& preList, vector<T>& inList) {
	BTNode<T>* p = nullptr;
	vector<T> presub, insub;
	int n = preList.size();
	if (n > 0) {
		T rootData = preList[0];
		p = new BTNode<T>(rootData);
		int k = 0;
		while (k < n && inList[k] != rootData)
			k++;
		for (int i = 0; i < k; i++)
			presub.push_back(preList[i+1]);
		for (int i = 0; i < k; i++)
			insub.push_back(inList[i]);
		p->left = rootBy2Lists(presub, insub);
		presub.clear();
		insub.clear();

		for (int i = 0; i < n - k - 1; i++)
			presub.push_back(preList[i + k + 1]);
		for (int i = 0; i < n - k - 1; i++)
			insub.push_back(inList[i + k + 1]);
		p->right = rootBy2Lists(presub, insub);
	}
	return p;
}

template <typename T>
void by2Lists(vector<T>& preList, vector<T>& inList, BTree<T>* bt) {
	bt->root() = rootBy2Lists(preList, inList);
}

课后习题

9.1

1）

\[\sum_{k=0}^5 2^k=2^6-1=63 \\ 2^5=32 \]

\[\lfloor \log_2^{257} \rfloor=8 \]

\[n_0+n_1+n_2=1000 \\ n_0=n_2+1 \]

联立可得

9.2

二叉树有左子树和右子树的区别，度为2的数只是最大有两个子树而已

9.3

先序遍历:1 2 3 4 5 6 7 8 9

中序遍历:2 3 4 1 6 7 9 8 5

后序遍历:4 3 2 9 8 7 6 5 1

9.4

排序


5.1

排序算法稳定性：

算法	平均时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
直接插入排序	\(O(n^2)\)	\(O(1)\)	稳定
冒泡排序	\(O(n^2)\)	\(O(1)\)	稳定
快速排序	\(O(nlog_2n)\)	\(O(1)\)	不稳定
选择排序	\(O(n^2)\)	\(O(1)\)	不稳定
归并排序	\(O(nlog_2n)\)	\(O(n)\)	稳定

排序算法的形式

直接插入排序

void InsertSort(T* items, int cnt) {
	T k;
	int m, n = cnt;
	int i, j;
	for (m = 1; m < n; m++)
	{
		k = items[m];
		for (i = 0; i < m; i++)
		{
			if (k < items[i]) {
				for (int j = m - 1; j >= i; j--)
					items[j + 1] = items[j];
				items[i] = k;
				break;
			}
		}
	}
}

优化过的插入排序

由于前面的m-1个数字已经处于排序状态，所以可以运用查找的方法来进行优化寻找下一个数插入位置的方法，因此经过优化的插入排序的时间复杂度为 \(O(nlog_2n)\)

template <typename T>
inline int BinarySearch(T k, T* items, int cnt, int si = 0, int length = -16) {
	if (length == -16)
		length = cnt;
	int mid = 0, left = si;
	int right = left + length - 1;
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) / 2;
		if (k == items[mid])
			return mid;
		else if (k < items[mid]) {
			right = mid - 1;
		}
		else
			left = mid + 1;
	}
	if (k > items[mid])
		mid++;
	return ~mid;
}

template <typename T>
void InsertSortBS(T* items, int cnt) {
	T k;
	int  i, j, m, n = cnt;
	for (m = 1; m < n; m++) {
		k = items[m];
		//i = lower_bound(items, items + m, k) - items;

		i = BinarySearch(k, items, cnt, 0, m);
		if (i < 0)
			i = ~i;
		for (j = m - 1; j >= i; j--) 
			items[j + 1] = items[j];
		items[i] = k;
	}
}

冒泡排序

template <typename T>
void myswap(T& x, T& y) {
	T t;
	t = x;
	x = y;
	y = t;
}

template <typename T>
void BubbleSort(T* items, int cnt) {
	for (int i = cnt-1; i > 0; i--) {
		bool exchanged = false;
		for (int j = 0; j < i; j++)
		{
			if (items[j] > items[j + 1])
			{
				exchanged = true;
				myswap(items[j], items[j+1]);
			}
		}
		if (!exchanged)
			break;
	}
}

选择排序

template <typename T>
void myswap(T& x, T& y) {
	T t;
	t = x;
	x = y;
	y = t;
}

template <typename T>
void SelectSort(T* items, int cnt) {
	for (int i = 0; i < cnt; i++)
	{
		T minidx = i ;
		for (int j = i + 1; j < cnt; j++) {
			if (items[j] < items[minidx])
				minidx = j;
		}
		myswap(items[minidx], items[i]);
	}
}

快速排序的原理

1.首先确定一个基准值 \(pilot\) 一般为第一个元素

2.使用两个地址位，第二个元素的地址位为 \(i\) ，最后一个元素的地址位为 \(j\)

3.对 \(i\) 递增操作，直到找到一个 \(i\) 地址位的元素使得其值大于基准值，对 \(j\) 递减操作，只打找到一个 \(j\) 地址位的元素使得其值小于基准值

4.交换 \(i\) 与 \(j\) 两个地址位的元素，重复3中过程，直到不满足 \(i< j\)

5.\(i++,j--\) 然后交换基准元素与 \(j\) 地址位的元素，并以基准值元素为界来分别对左边的元素和右边的元素进行1到5的操作，直到只剩下一个元素为止

归并排序的原理

1.二分区间，把两边的序列认为是已经有序的序列，并将两个有序的序列合成一个有序的序列

2.对于每个想要其有序的序列，对其进行归并排序再合并

3.递归下去，就得到了一个有序的序列

排序的趟数

初始序列并不是第一趟

冒泡排序的最后一趟要跟倒数第二趟一模一样

哈希查找






探测定址法



散列链法


哈希表的实现（散列链法）



顺序查找

template <typename IIT,typename T>
int Index(IIT first, IIT end, const T& k) {
	int i = 0;
	auto pitems = first;
	while (pitems < end && (*pitems) != k) {
		i++;
		pitems++;
	}
	if (pitems == end)
		return -1;
	return i;
}

template <typename IIT,typename Predicate>
int IndexIf(IIT first, IIT end, Predicate pred) {
	int i = 0;
	auto pitems = first;
	while (pitems < end && !pred(*pitems))
	{
		i++;
		pitems++;
	}
	if (pitems == end)
		return -1;
	return i;
}

二分查找

前提：序列已经成为有序状态

template <typename T>
int BinarySearch1(const T& k,T* items, int len) {
	int left = 0;
	int right = len - 1;
	int mid = 0;
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) / 2;//最迹在这里打i声明，不然就寄了
		if (k == items[mid])
			return mid;
		else if (k < items[mid])
			right = mid - 1;
		else
			left = mid + 1;
	}
	if (k > items[mid])
		mid++;
	
	return ~mid;
}

如果遇到不存在的数，返回的数字是这个数应该插入的地方取反

例如输出为-6，则是正确的插入位置为 \(6-1=5\)

分块查找

把数据按照某种规律储存在不同的块里面，查找的时候再对应块查找就可以了

二叉查找树、排序树与判定树

二叉查找树和二叉排序树是一样的，只是同一个东西的不同名字

二分判定树则是每次二分查找中 \(mid\) 的值

二叉判定树的画法

二叉查找树的画法