[火星补锅] 非确定性有穷状态决策自动机练习题Vol.3 T3 && luogu P4211 [LNOI2014]LCA 题解

前言：

这题感觉还是很有意思。离线思路很奇妙。可能和二次离线有那么一点点相似？当然我不会二次离线我就不云了。

解析：

题目十分清真。
求一段连续区间内的所有点和某个给出的点的Lca的深度和。
首先可以转化一步。
我们可以只考虑一个询问。那么当前询问的答案可以转化为：将区间[l,r]中的每一个点到根节点的路径上的点的点权都加一。然后统计给出点z到根节点的路径上的点权之和即可。
可以使用树剖线段树搞定。
这个转化正确性显然。
但是，当考虑到多次询问时，就有点不对劲。因为两个询问如果一起计算贡献，就会算重。
比如，考虑[1,6]和[4,7]，如果先算[1,6]，那当算[4,7]时，就要先把之前线段树内的答案清空，再计算这个区间的答案。
相当于每一次询问都要清空线段树，然后重新计算。这样显然T的飞起。
那怎样才能利用之前询问的信息呢？
首先容易想到，计算一段区间的贡献，可以转化为求两个前缀的贡献之差。
然后，我们可以发现，如果计算当前区间的答案时，想使用上个区间的答案，当且仅当当前区间包含上一个区间。
那我们就可以设计出一个合理的顺序，使每个区间都能够包含之前的区间。
现在就很清晰了。
首先我们把所有询问离线下来，然后把每个询问[l,r]拆成两个区间[1,l-1]和[1,r]，按照右端点从小到大排序。最后统计答案。
然后就没啥了。注意细节。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
typedef long long ll;
const int maxn=50000+10,mod=201314;
#define gc() (p1 == p2 ? (p2 = buf + fread(p1 = buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2 ? EOF : *p1++) : *p1++)
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
struct Segment_tree{
	ll val,lazy;
}tree[maxn<<2];
struct node{
	int to,nxt;
}edge[maxn<<1];
struct que{
	int r,z,op,data;
	ll ans;
	que(){}
	que(int x,int y,int c,int d){
		r=x;
		z=y;
		op=c;
		data=d;
	}
}b[maxn<<1];
int head[maxn],depth[maxn],size[maxn],son[maxn],fa[maxn],dfn[maxn],top[maxn];
int Time,cnt,n,m,tot;
void add(int from,int to){
    edge[++cnt].to=to;
    edge[cnt].nxt=head[from];
    head[from]=cnt;
}
void dfs1(int u){
    size[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa[u]) continue;
        depth[v]=depth[u]+1;
        dfs1(v);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int t){
    top[u]=t;
    dfn[u]=++Time;
    if(son[u]) dfs2(son[u],t);
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
    }
}
bool cmp(que x,que y){
	return x.r<y.r ;
}
bool cmp2(que x,que y){
	return x.data!=y.data ? x.data<y.data : x.op<y.op ;
}
void pushup(int rt){
	tree[rt].val=(tree[rt<<1].val+tree[rt<<1|1].val)%mod;
}
void update(int rt,int l,int r,ll x){
	tree[rt].lazy+=x;
	if(tree[rt].lazy>=mod) tree[rt].lazy-=mod;
	tree[rt].val+=x*(r-l+1)%mod;
	if(tree[rt].val>=mod) tree[rt].val-=mod;
}
void pushdown(int rt,int l,int r){
	if(!tree[rt].lazy) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	update(rt<<1,l,mid,tree[rt].lazy);
	update(rt<<1|1,mid+1,r,tree[rt].lazy);
	tree[rt].lazy=0;
}
void modify(int rt,int l,int r,int s,int t){
	if(s<=l&&r<=t){
		update(rt,l,r,1);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(rt,l,r);
	if(s<=mid) modify(rt<<1,l,mid,s,t);
	if(t>mid) modify(rt<<1|1,mid+1,r,s,t);
	pushup(rt);
}
ll query(int rt,int l,int r,int s,int t){
	if(s<=l&&r<=t) return tree[rt].val%mod;
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(rt,l,r);
	if(t<=mid) return query(rt<<1,l,mid,s,t);
	if(s>mid) return query(rt<<1|1,mid+1,r,s,t);
	return (query(rt<<1,l,mid,s,t)+query(rt<<1|1,mid+1,r,s,t))%mod;
}
void Modify(int u){
	while(top[u]!=1){
		modify(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]);
		u=fa[top[u]];
	}
	modify(1,1,n,1,dfn[u]);
}
ll Query(int u){
	ll res=0;
	while(top[u]!=1){
		res+=query(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]);
		if(res>=mod) res-=mod;
		u=fa[top[u]];
	}
	res+=query(1,1,n,1,dfn[u]);
	if(res>=mod) res-=mod;
	return res;
}
void Solve(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=2;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&fa[i]);
		fa[i]++;
		add(i,fa[i]);
		add(fa[i],i);
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);
	for(int i=1,aa,bb,cc;i<=m;++i){
		scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&cc);
		aa++;bb++;cc++;
		b[++tot]=que(aa-1,cc,0,i);
		b[++tot]=que(bb,cc,1,i);
	}
	sort(b+1,b+tot+1,cmp);
	int now=0;
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		while(now<b[i].r){
			now++;
			Modify(now);
		}
		b[i].ans=Query(b[i].z);
	}
	sort(b+1,b+tot+1,cmp2);
	for(int i=2;i<=tot;i+=2) printf("%lld\n",(b[i].ans-b[i-1].ans+mod)%mod);
}
signed main(){
	Solve();
	return 0;
}