[NOIP2017]宝藏 子集DP
题面：
首先我们观察到，如果直接DP，因为每次转移的代价受上一个状态到底选了哪些边的影响，因此无法直接转移。
所以我们考虑分层DP，即每次强制现在加入的点的距离为k（可能实际上小于k），这样就可以忽略掉上个状态选了哪些边的影响了。
所以这样为什么是正确的呢？
设f[i][j]表示DP到第i层，状态为j的最小代价。（即每层离起点最远的点的距离为i - 1，所以下次转移的点距离为i）
那么如果一个点被错误的计算了代价，当且仅当这个点离起点的距离小于i，但我们依然按照i的距离来计算了代价。
那么可以证明，这个点一定会在正确的层数被计算一次（i之前的某一层），那么由于当前层数导致代价被多算，因此肯定没那么优，所以不会对答案造成影响。
因此我们直接DP即可。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define R register int 4 #define AC 15 5 #define ac 12000 6 #define inf 2139062143 7 #define LL long long 8 9 int n, m, maxn, ans = inf; 10 int f[AC][ac], in[AC], g[AC][AC], dis[ac][AC]; 11 12 inline int read() 13 { 14 int x = 0;char c = getchar(); 15 while(c > '9' || c < '0') c = getchar(); 16 while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); 17 return x; 18 } 19 20 inline void upmin(int &a, int b){ 21 if(b < a) a = b; 22 } 23 24 void pre() 25 { 26 n = read(), m = read(), maxn = (1 << n) - 1; 27 memset(g, 127, sizeof(g)); 28 for(R i = 1; i <= m; i ++) 29 { 30 int a = read(), b = read(), c = read(); 31 upmin(g[a][b], c), upmin(g[b][a], c); 32 } 33 int tmp = 1; 34 for(R i = 1; i <= n; i ++) 35 in[i] = tmp, tmp <<= 1, g[i][i] = 0; 36 } 37 38 void get()//获取所有联通块到各个点的距离，预处理可以降低复杂度 39 { 40 memset(dis, 127, sizeof(dis)); 41 for(R k = 1; k <= maxn; k ++) 42 { 43 for(R i = 1; i <= n; i ++)//枚举集合内的一点 44 { 45 if(!(k & in[i])) continue; 46 for(R j = 1; j <= n; j ++) 47 { 48 if(k & in[j]) dis[k][j] = 0; 49 else upmin(dis[k][j], g[i][j]); 50 } 51 } 52 } 53 } 54 55 void work() 56 { 57 memset(f, 127, sizeof(f)); 58 for(R k = 1; k <= n + 1; k ++)//枚举当前层(走下一步的最远距离) 59 { 60 for(R i = 1; i <= n; i ++) f[k][in[i]] = 0; 61 upmin(ans, f[k][maxn]); 62 for(R i = 1; i <= maxn; i ++)//枚举状态 63 { 64 if(f[k][i] == inf) continue;//不判断这个可能会爆int 65 int s = i ^ maxn;//获取补集 66 for(R j = s; j; j = (j - 1) & s)//枚举补集的子集 67 { 68 int tmp = 0;bool flag = true; 69 for(R l = 1; l <= n; l ++) 70 { 71 if(!(j & in[l])) continue;//如果不在这个子集中就跳过 72 if(dis[i][l] == inf) {flag = false; break;} 73 tmp += k * dis[i][l]; 74 } 75 if(flag) upmin(f[k + 1][i | j], f[k][i] + tmp); 76 } 77 } 78 } 79 printf("%d\n", ans); 80 } 81 82 int main() 83 { 84 // freopen("in.in", "r", stdin); 85 pre(); 86 get(); 87 work(); 88 // fclose(stdin); 89 return 0; 90 }
