算法学习——上下界网络流

顾名思义，带上下限网络流即对于网络流中的每一条边，都带有流量的上界和下界。

普通的网络流可以看做下界为0的上下限网络流。

 

1，无源汇带上下界可行流。

定义一个数组d[x]表示图中点x的入度下限和-出度下限和。

建图方式为：
　　对于图中每一条边，都连流量为上界-下界的边，并在加边的时候统计d[x]。

　　对于任意一个点，如果它的d[x] > 0,那么连s --- > x, 流量为d[x];

　　如果它的d[x] < 0, 那么连x --- > t, 流浪为-d[x]。

　　然后直接从s到t跑网络流即可，如果满流即为合法，否则不合法。

　　如何理解？

　　因为下界是必须达到的，因此先把所有的边都强行达到下界。

　　对于任意一个点，如果d[x] > 0, 那么表示进来的流量有剩余，还没有流完，因此从s给它补充d[x]的流量。

　　反之，如果d[x] < 0, 那么表示进来的流量不够，所以连向t以让它可以接收流量来补足不够的-d[x]的流量。

　　如果满流，那么代表剩余的流量可以恰好补全不够的流量，那么就是可行了。

　　同时因为每条边都变为了上界-下界，因此不管怎么流，都是不会超过上界的，于是就成功的把流量限制在了[下界，上界].

2，有源汇带上下界可行流。

　　建图方式与上述相同，只是把原来的源汇连一条t --- > s : inf的边（现在的超级源汇为ss, tt)

3，有源汇带上下界最大流。

　　先做一遍可行流，然后去掉ss和tt，在残余网络上跑最大流，最大流即为答案。

　　因为有反向边，所以之前可行流流出的流量会从反向边流到t，于是基础流量就会被满足了，然后就是在这个基础上增添流量。

　　又因为是最大流，所以跑出来的肯定是最优解。

4，有源汇带上下界费用流

　　建图方式和网络流差不多，原图上的边费用不变，新增的边费用为0.一开始减掉下界的时候要加上流下界的费用。

　　最后和跑出的费用相加，得到最后的费用。