[HAOI2010]计数 数位DP+组合数
题面：
你有一组非零数字（不一定唯一），你可以在其中插入任意个0，这样就可以产生无限个数。比如说给定{1,2},那么可以生成数字12,21,102,120,201,210,1002,1020,等等。
现在给定一个数，问在这个数之前有多少个数。（注意这个数不会有前导0）.
样例输入：1020 样例输出：7
题解：
刚看到这道题的时候有点懵，，，，，
其实仔细观察一下发现这题可以用组合做。
注意到0的个数是不限的，
而且如果位数小于给定n的话，肯定可以随便搭配，
所以直接加上给定数的有效位+补全的0的全排列就好了，（全排列注意不能重复）
有效位指的是不为0的位，
这样虽然有前导0，但是可以看做是位数少的数，比如
0012,0120分别可以看做12和120，
这样不仅不用去掉前导0，还可以只用加一次，非常方便
因此我们要求就只剩下位数相同的方案了，
这就要用到数位DP了
我们从前往后枚举，因为如果确定的当前位小于给定n的当前位的话，
由于是从前往后枚举，只要当前位小了，后面的位不管怎么排列都是小于n的，
因此我们加上去掉已经被确定的数后的全排列（全排列不能重复）就可以了，
如果当前位相同，那方案数就要放在后面求（注意每确定一位都要在有的数集合中减去它）
注意在第一位的时候不要枚举0就可以了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define R register int 4 #define AC 60 5 6 #define LL long long 7 LL len,ans,tot; 8 int num[AC],have[AC],use[AC]; 9 /*第i位是什么，在哪里? 10 设给定n的位数为len,那么位数小于len的显然可以随意组合， 11 于是利用有效位组合计算。 12 位数大于len的显然不合法 13 所以只要计算位数等于len的即可， 14 假设n的第i位不为0，那么如果用比第i位小的数摆在第i位上， 15 这个数就肯定比n小了，所以后面就可以随意搭配了 16 所以利用组合来算？ 17 之前只想到位数小于len的可以组合算， 18 原来确定了前面的后面也可以组合算啊(废话), 19 如果g[i]表示i位数，自由组合的合法方案,i>=有效位 20 则g[i] = i! - (i-1)! 21 看上去怎么这么玄啊。。。。 22 果然是错的，，，因为如果有效位中有重复的话，这一部分就会被重复计算， 23 比如26637，那么对于每一种合法排列，都会计算2次，因为6可以交换 24 所以要去重，如果数i的出现次数为have[i],那么它会使得整个数列被多计算have[i]!次， 25 同理，拓展到所有数，整个数列会被多计算have[i]! * have[i+1]! + ....... 26 因此设f[i]表示长度为i时的排列（无重复，有前导零） 27 g[i]表示长度为i时的排列（无重复，无前导零） 28 那么g[i] = f[i] - f[i-1];//相当于确定了第1位是0时，就必然有前导零了. 29 设比当前位i大的数有k位， 30 那么ans += k * newf[n-i]; 31 因为这时前几位已经确定，所以have和tot都变了，因此要用newf，而不是f 32 因此可以发现，前面求的g和f到后面根本就没有用，所以还是不要求了，，，，， 33 直接算就好了 34 ans += tot!/have[1]! * have[2]!..... 35 */ 36 void pre() 37 { 38 char c=getchar(); 39 while(c > '9' || c < '0') c=getchar(); 40 while(c >= '0' && c <= '9') 41 { 42 num[++len]=c - '0',c=getchar(); 43 if(num[len] != 0) ++have[num[len]],++tot;//统计有效位 44 }//读入 45 have[0]=len - tot - 1;//获取0的个数 46 if(!tot) 47 { 48 printf("0\n"); 49 exit(0); 50 } 51 } 52 53 LL cal(int cnt) 54 { 55 LL tmp=0; 56 /* for(R i=1;i<=9;i++) tmp+=have[i],use[i]=have[i]; 57 use[0]=cnt - tmp;//获取0的个数，因为work中获取了，所以不用再次获取*/ 58 for(R i=0;i<=9;i++) use[i] = have[i]; 59 tmp=1; 60 for(R i=2;i<=cnt;i++) 61 { 62 tmp*=i; 63 for(R j=0;j<=9;j++) 64 { 65 if(use[j] <= 1) continue; 66 while(!(tmp % use[j])) 67 { 68 tmp /= use[j]; 69 --use[j]; 70 if(use[j] == 1) break; 71 } 72 } 73 } 74 return tmp; 75 } 76 77 void work() 78 { 79 LL tmp; 80 have[0]++;//把之前为了计算小于len位的答案而减掉的0加回来 81 for(R i=1;i<=len;i++) 82 { 83 tmp=0; 84 for(R j=1;j<=9;j++) tmp+=have[j]; 85 have[0]=(len - i + 1) - tmp;//获取0的个数 86 int b=(i == 1);//因为第一位不能用0代替 87 for(R j=b;j<num[i];j++)//枚举放哪个,但只能尝试比当前位小的，且这样还可以保证不重复 88 { 89 if(!have[j]) continue;//没有就不能放 90 --have[j];//先减掉 91 /*if(i == 1)//error!!!但是只要第一个不是0的话，，，，后面的就不是前导零啊，，，有什么关系。。。。 92 {//求g值，如果第一个是0的话，其他的have不会变，have[0]又是临时求的，所以没关系 93 ans += cal(len - i); 94 --have[0]; 95 ans -= cal(len - i -1); 96 ++have[0]; 97 }*/ 98 ans+=cal(len - i);//只有第一位才不能有前导0，，，， 99 ++have[j]; 100 } 101 if(num[i]) have[num[i]]--;//假设这一位也相同，那么就要减掉,0的时候不用减，因为0是临时算的(不过应该也可以不临时算？) 102 } 103 printf("%lld\n",ans); 104 } 105 106 int main() 107 { 108 // freopen("in.in","r",stdin); 109 pre(); 110 if(len - 1 >= tot) ans+=cal(len-1);//这样会有前导零，但可以看做是位数不同 111 work(); 112 // fclose(stdin); 113 return 0; 114 }
