【算法复习】背包问题 经典动态规划

其实我大概想法是想写一个动态规划的专题，然后里面可能有一些小专题，所以如果我没有鸽掉的话，这篇的链接会放入DP专题里面

这里大概就写写常见的背包问题吧。

01背包

可以说是最经典的背包问题了，有\(n\)个物品， 每个物品有一个价值\(vi\)和一个体积\(wi\)，背包的最多容纳体积之和为\(m\)的物体。
现在让你求背包可以放入的最高价值之和。
我们考虑令\(dp[i][j]\)表示考虑到第i个物品，现在已经占用的背包容积是j的最优价值，那么我们有转移方程：
\(dp[i][j] = max\{dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]\}\)
伪代码：

for i 1 to n
  for j 1 to m
    dp[i][j] = max{dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]}

滚动数组优化

可以发现\(dp[i]\)一定从\(dp[i - 1]\)转移，而且我们只需要最后的dp[n],也就是考虑完所有物品的数组.所以我们并不需要保留所有的dp数组，只需要保留上一组的信息就可以算出下一组，
因此我们令\(f[i]\)表示已经占用的背包容积是j的最优价值。
伪代码：

for i 1 to n
  for j m to 1//注意这里
    dp[j] = max{dp[j - w[i]] + v[i]}

这里注意一个细节，你可以发现j这个循环的循环顺序被反过来了，为什么呢？
考虑到w[i]为正数，因此\(j - w[i] < j\),而我们的dp数组是需要用上一组的信息转移出下一组，因此我们需要保证，求dp[j]用到的转移状态是上一组的状态。
而求dp[j]时会用到比j小的状态，因此我们需要保证在dp[j]时，比j小的状态还没有被更新，因此我们用逆序枚举。
那么为什么我们必须用上一组的信息转移出下一组呢？
我们考虑如果我们用当前组转移当前组会发生什么。
可以发现，如果我们用当前组更新当前组，那就以为着用于更新的状态里已经考虑过当前物品了，这个时候你再加一次当前物品，相当于考虑了多次当前物品，不符合每个物品只能用一次的条件。

完全背包

有\(n\)种物品， 每种物品有一个价值\(vi\)和一个体积\(wi\)，且数量为无限个，背包的最多容纳体积之和为\(m\)的物体。
现在让你求背包可以放入的最高价值之和。
从01背包的滚动数组优化的细节解释中，可以发现，其实我们顺序枚举，虽然不满足01背包的条件限制，但是却刚好满足完全背包的条件！
所以我们只需要将j顺序枚举，就是完全背包的做法。
伪代码：

for i 1 to n
  for j 1 to m//注意这里
    dp[j] = max{dp[j - w[i]] + v[i]}

多重背包

有\(n\)种物品， 每种物品有一个价值\(vi\)和一个体积\(wi\)，且数量为\(ni\)个，背包的最多容纳体积之和为\(m\)的物体。
现在让你求背包可以放入的最高价值之和。
有2个思路，1个是把有\(ni\)个的第i种物品，拆分成\(ni\)个，当01背包做，1个是多一层循环，枚举第i个物品放进去了多少个。
复杂度都是\(\sum{ni} \cdot m\)的。
其实这2种思路本质上差不多，我们考虑二进制拆分进行分组来优化。
对于第i个物品，其实我们只需要对\(ni\)进行拆分，使得拆分出来的几个组，对于任意\(0<= x <= ni\)，都有至少一种取舍方案使得第i种物品一共取走了x个.
要实现这个目标，二进制拆分是一个很好的选择。
我们先找到一个最大的k使得\(2^k<=ni\),然后令\(t = ni - 2^k\),易知\(t < 2^k\)
然后我们对\(2^k\)进行拆分，拆成\(2^0 + 2^1 + 2^3 ... + 2^{k - 1} + 1\),容易证明这k个数可以组合出0到\(2^k\)中任意一个数。
然后对于剩下的t我们单独作为一组，由于\(t < 2^k\)，所以之前的k个数可以组合出0到t中任意一个数，而\(2^{k} + 1\)到\(ni\)中的任意一个数可以由t的这一组和之前的k组组合得到（你可以理解为取走所有组，然后我们需要删去一个0到t中的一个数来得到\(2^{k} + 1\)到\(ni\)中的某个数，而这个数肯定能被前k个数凑出）

------以上是最基础的三种背包问题-----下面会写一些扩展的背包问题（大概就是差不多的问题+一点点改动）-------有时间就更------

恰好装满

其实可以直接套01背包的做法，如果数据没有价值为0和负数的话（
然后看dp[m]有没有值就行。
如果有价值为0和负数……那就稍微改一下，令dp[i]表示考虑塞入体积之和为i，能否实现。
然后初始化一下，dp[0] = 0, 其他都是-inf，
最后看dp[m]如果还是-inf的话，说明不能恰好装满，如果不是-inf的话那dp[m]就是答案

多个限制

直接dp数组加维就行

求方案数

改一下dp方程
以01背包为例：\(dp[j] += sum{dp[j - w[i]] + v[i]}\),注意这里是+=，初始的dp[j]表示的是不放入当前物品，
完全背包思路类似