【基础模型】LIS 最长上升子序列

问题：
给你一个数列，让你找出最长上升子序列。（子序列大概就是说从前往后按顺序取数，可以不连续取）
例如： 1 2 5 8 9 1 2 6 7 8
最长上升子序列就是1 2 5 6 7 8 ，长度为6.

如果现在我们只想求长度，那么一个十分朴素的想法就是：
令\(f[i]\)表示以s[i]为结尾的最长上升子序列长度，那么易得\(f[i] = max(f[j])\)其中j满足\(s[j] < s[i]\).
然后我们分别枚举i和j，那么我们就得到了一个\(n^2\)的算法。
但如果我们需要更优秀的时间复杂度呢？
可以考虑这样一种思路：
维护一个单调上升的数组，不断的加入新的数，用更优秀的数代替不那么优的数，最后得到一个最优的长度。
那么考虑如何维护。
我们从前往后一个一个的加入新数，如果这个新数比数组最后一个还要大，那么加入到数组末尾。
否则二分查找出这个数组内最靠前的比新数大的数，然后用新数替换掉它。
最后数组长度就是最长上升子序列的长度.
我们来证明这样为什么是正确的。
如果你直接把数塞到数组末尾，这个正确性是显然的对吧。
那么我们其实只需要证明为什么把数塞到数组中间（即替换掉一个前面的数），其实是不影响后续操作的正确性的。
假设我们用新数x替换掉了第t个数，那么对于t之前的数而言，你只是在它们末尾塞了一个数，所以对它们没有影响，而对于t位置本身，如果后面的数想要接在这个数后面成为一个子序列的话，其实完全可以选择接在这个新数x后面，毕竟x比t之前的所有数都要大，因此可以取代t数在原来子序列当中的地位，而x又比t小，因此能接在t后面的数肯定也能接在x后面，而且既然是“后面的数”，那肯定不用担心顺序问题。因此对于t位置也不会有影响。
那么对于t后面的数呢？
我们可以发现，在这个数列里面，我们其实是在用一个数去代表一个子序列，每个数就代表了以它为末尾最长的那个子序列，它所在的位置其实就是这个子序列的长度。
因此对于后面来的任意一个数而言，如果我们想接到一个前面的子序列，实际上我们只需要用到那个子序列的末尾数字。因此在该数组中某个数y前面的数被修改了其实根本不会对这个数y产生影响，因为后面的数要用到y的时候,只需要用到y本身就足以获取长度和末尾信息。

小提醒：这个算法最后得到的数组并不一定是最优的最长上升子序列，因为你修改数组中间的数，虽然不会影响后期长度更新的正确性，但还是改变了这个数组的组成的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Ri register int
#define AC 110000

int n, m, ans;
int s[AC]; 

int read()
{
	int x = 0; char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
	while(c <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x;
}

int half(int x)//find the first one which is bigger than x
{
	int l = 1, r = m;
	if(l > r) return l;
	while(l < r)
	{
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(s[mid] < x) l = mid + 1;
		else r = mid;
	}
	return l;
}

void work()
{
	n = read();
	for(Ri i = 1; i <= n; i ++)
	{
		int now = read();
		if(!m || s[m] < now) s[++ m] = now;
		else s[half(now)] = now;
	}
	printf("%d\n", m);
	for(Ri i = 1; i <= m; i ++) printf("%d ", s[i]);
	printf("\n");
}

int main()
{
	freopen("1.in", "r", stdin);
	work();
	fclose(stdin);
	return 0;
}