行列式(一)：基本定义性质及高斯消元求解行列式
行列式
\[D =
\left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array} \right|\]
上图是一个三阶行列式，行列式是形如上图的一个东西，简记为： \(det(a_{ij})\), 其中\(a_{ij}\)是行列式的第\(ij\)元。
一个n阶行列式的值为：
\[\sum (-1)^t a_{1 p_1} a_{2p_2} ... a_{np_n}
\]
其中\(t\)是\(1\)～\(n\)的排列\(p_1, p_2, p_3...,p_n\)的逆序对个数。
特殊行列式
三角形行列式
满足如下等式：
\[D =
\left| \begin{array}{c}
a_{11} &. &. & ... \\
a_{21} & a_{22} &. & ... \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...\\
. & . & . & .\\
. & . & . & .\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{array} \right| = a_{11}a_{22}...a_{nn}\]
对角行列式
满足如下等式：
\[D =
\left| \begin{array}{c}
\lambda_1 & & & &\\
& \lambda_2 & & &\\
& & . & & \\
& & & . & \\
& & & & \lambda_n
\end{array} \right| = \lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n\]
相当于特殊的三角形行列式
性质
前置知识
转置行列式：
将行列式\(D = det(a_{ij})\)沿从左到右的对角线镜像翻转，得到一个新的行列式，称这个新的行列式为它的转置行列式。即原来的\(a_{ij}\)会与\(a_{ji}\)交换位置。
性质一
行列式与它的转置行列式相等
性质二
交换行列式的两行(列)，行列式变号
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零
性质三
行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一数\(k\)，等于用数\(k\)乘行列式
推论：行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式记号外面
性质四
行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质五
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第\(i\)行的元素都是两数之和：
\[D =
\left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & ... & a_{in} + a'_{in}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{array} \right|\]
则\(D\)等于下列两个行列式之和:
\[D =
\left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{array} \right| +
\left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a'_{i1} & a'_{i2} & ... & a'_{in}\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{array} \right|
\]
性质六
把行列式的某一行(列)的各元素同乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。
高斯消元求解
由性质六和对角线行列式的计算方式可得，如果我们把行列式当做一个\(n\)元一次方程组，然后解出对角矩阵，再将对角线上的元素相乘，即可得到行列式的值。
