差分序列
差分序列
定义：
设\(f(x) = h_1, h_2, h_3...h_n...\)是一个序列，那么定义一阶差分序列为：
\[\Delta h_0, \Delta h_1...\Delta h_n...
\]
其中$$\Delta h_n = h_{n + 1} - h_n$$
我们递归的定义$$\Delta^ph_0, \Delta^ph_1, \Deltaph_2...\Deltaph_n...(p \ge 1)$$为\(f(x)\)的\(p\)阶差分序列，其中\(\Delta^ph_n = \Delta(\Delta^{p - 1}h_n)\)
特别的,一个序列的\(0\)阶差分序列是它自己。
性质与相关定理
定理1 设序列的通项是n的p次多项式，即：
\[h_n = a_pn^p + a_{p - 1}n^{p - 1}... + a_1n + a_0(n \ge 0)
\]
则对所有的\(n \ge 0,\Delta^{p + 1}h_n = 0\)
可以用归纳法证明:
差分的线性性 ：定义序列：\(h_n = f_n + g_n\)
那么显然有\(\Delta h_n = \Delta g_n + \Delta f_n\)
进一步归纳可以得到：
\[\Delta^p(cg_n + df_n) = c\Delta^p g_n + d\Delta^p f_n
\]
利用差分的线性性和差分表第0条对角线(最左边那个右下方向的)，可以确定整个序列，因此可以引申出如下定理：
定理2 假设差分表第0条对角线为：\(c_0, c_1, c_2, c_3...c_p,0,0,0...\),其中\(c_p != 0\)
那么我们有：
\[h_n = c_0 \binom{n}{0} + c_1 \binom{n}{1} + ... + c_p \binom{n}{p}
\]
所以：
\[\sum_{k = 1}^n h_k = c_0 \sum_{k = 0}^n \binom{k}{0} + c_2 \sum_{k = 0}^n \binom{k}{1} + ... + c_p \sum_{k = 0}^n \binom{k}{p}
\]
因为组合数性质：(大概可以用杨辉三角理解一下)
\[\sum_{k = 1}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n + 1}{p + 1}
\]
可以得到：
\[\sum_{k = 0}^{n}h_k = c_0 \binom{n + 1}{1} + c_1 \binom{n + 1}{2} + ... + c_p \binom{n + 1}{p + 1}
\]
\(\Delta\) 一个复杂度\(O(次数)\)的求部分和的公式
组合意义
出现在差分表第0条对角线上的那些数具有其组合意义。
讨论(未完成，瞎写的，不要看)
设
\[h_n = n^p
\]
那么差分表的第0条对角线有如下形式：
\[c(p, 0), c(p, 1), c(p, 2)...c(p, p), 0, 0...
\]
因此有
\[n^p = c(p, 0) \binom{n}{0} + c(p, 1) \binom{n}{1} + ... + c(p, p) \binom{n}{p}
\]
记为1式。
如果p = 0, 则h_n = 1,它是一个常数，因此上式变为：
\[n^0 = 1 = 1 \binom{n}{0} = 1
\]
特别的，
\[c(0, 0) = 1
\]
因为若\(p \geq 1\),则作为\(n\)的多项式，\(n^p\)有一个等于0的常数项,所以：
\[c(p, 0) = 0 (q \geq 1)
\]
为了方便表示，我们用更加简洁的符号来表示排列数，即\([n]_k = P(n, k)\)，表示\(n\)个不同对象的\(k\)排列数。
我们通过引入新的表达式来改写1式。则1式可以被表示为：
\[[n]_k = begin{cases}
n(n - 1)...(n - k + 1) \quad (k \geq 1) \\
1 \quad (k = 0)
end{cases}\]
同时注意到：
\[[n]_{k + 1} = (n - k)[n]_k
\]
因为
\[\binom{n}{k} = \frac{n(n - 1)...(n - k + 1)}{k!} = \frac{[n]_k}{k!}
\]
由此得到：
\[[n]_k = k! \binom{n}{k}
\]
因此，我们可以将1式进一步的改写为：
\[n^p = c(p, 0)\frac{[n]_0}{0!} + c(p, 1)\frac{[n]_1}{1!} + ... +c(p, p)\frac{[n]_p}{p!}
\]
\[= \sum_{k = 0}^p c(p, k)\frac{[n]_k}{k!} = \sum_{k = 0}^p\frac{c(p, k)}{k!}[n]_k
\]
我们引入第二类斯特林数。记：
\[S(p, k) = \frac{c(p, k)}{k!} \quad (0 \le k \le p)
\]
因此改写后的1式可以更进一步变为：
\[n^p = S(p, 0)[n]_0 + S(p, 1)[n]_1 + ... + S(p, p)[n]_p = \sum_{k = 0}^{p}S(p, k)[n]_k
\]
因为
\[S(p, 0) = \frac{c(p, 0)}{0!} = c(p, 0)$$.
因此：
$$S(p, 0) = \begin{cases}
1 \quad (p = 0)\\
0 \quad (p \geq 1)
\end{cases}\]
(没写完……)
