扩展欧几里得定理

扩展欧几里得是在求这么一个东西：
　　问：已知\(a, b\),求解一组(x, y)使得\(xa + yb = gcd(a. b)\)成立。
　　答：设有方程$$x_{1}b + y_{1}(a % b) = gcd(b, a % b)$$
　　则$$x_{1}b + y_{1}(a - \lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor b) = gcd(b, a % b)$$
　　进一步化简得:$$x_{1}b + y_{1}a - y_{1}\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor b = gcd(b, a % b)$$
　　$$y_{1}a + (x_{1} - y_{1}\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor)b = gcd(b, a % b)$$
　　因为\(gcd(b, a \% b) = gcd(a, b)\).
　　所以$$y_{1}a + (x_{1} - y_{1}\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor)b = gcd(a, b)$$
　　因此\(x = y_{1}, y = (x_{1} - y_{1}\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor)\)是原式的一组合法解。
　　
　　同理，\(x_{1}, y_{1}\)的求解也可以通过递归到下一层来求.因此这是一个可以递归求解的问题。例如第二层的\(a_{1} = b, b_{1} = a \% b\)
　　因此通过不断递归求解，最后会使得当前b为0，此时\(gcd(a_{n}, b_{n}) = gcd(a_{n}, 0) = a_{n}\)，所以令\(x_{n} = 1, y_{n} = 0\)即可

　　代码：

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
}