prim算法（普里姆算法）详解

一、算法思想

了解了什么是最小生成树后，本节为您讲解如何用普里姆（prim）算法查找连通网（带权的连通图）中的最小生成树。

普里姆算法查找最小生成树的过程，采用了贪心算法的思想。对于包含 N 个顶点的连通网，普里姆算法每次从连通网中找出一个权值最小的边，这样的操作重复 N-1 次，由 N-1 条权值最小的边组成的生成树就是最小生成树。

那么，如何找出 N-1 条权值最小的边呢？普里姆算法的实现思路是：

1. 将连通网中的所有顶点分为两类（假设为 A 类和 B 类）。初始状态下，所有顶点位于 B 类；
2. 选择任意一个顶点，将其从 B 类移动到 A 类；
3. 从 B 类的所有顶点出发，找出一条连接着 A 类中的某个顶点且权值最小的边，将此边连接着的 A 类中的顶点移动到 B 类；
4. 重复执行第 3  步，直至 B 类中的所有顶点全部移动到 A 类，恰好可以找到 N-1 条边。

举个例子，下图是一个连通网，使用普里姆算法查找最小生成树，需经历以下几个过程：

图 1 连通网

1) 将图中的所有顶点分为 A 类和 B 类，初始状态下，A = {}，B = {A, B, C, D, S, T}。

2) 从 B 类中任选一个顶点，假设选择 S 顶点，将其从 B 类移到 A 类，A = {S}，B = {A, B, C, D, T}。从 A 类的 S 顶点出发，到达 B 类中顶点的边有 2 个，分别是 S-A 和 S-C，其中 S-A 边的权值最小，所以选择 S-A 边组成最小生成树，将 A 顶点从 B 类移到 A 类，A = {S, A}，B = {B, C, D, T}。

图 2 S-A 边组成最小生成树

3) 从 A 类中的 S、A 顶点出发，到达 B 类中顶点的边有 3 个，分别是 S-C、A-C、A-B，其中 A-C 的权值最小，所以选择 A-C 组成最小生成树，将顶点 C 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C}，B = {B, D, T}。

图 3 A-C 边组成最小生成树

4) 从 A 类中的 S、A、C 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 S-C、A-B、C-B、C-D，其中 C-D 边的权值最小，所以选择 C-D 组成最小生成树，将顶点 D 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D}，B = {B, T}。

图 4 C-D 边组成最小生成树

5) 从 A 类中的 S、A、C、D 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 A-B、C-B、D-B、D-T，其中 D-B 和 D-T 的权值最小，任选其中的一个，例如选择 D-B 组成最小生成树，将顶点 B 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D, B}，B = {T}。

图 5 D-B 边组成最小生成树

6) 从 A 类中的 S、A、C、D、B 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 B-T、D-T，其中 D-T 的权值最小，选择 D-T 组成最小生成树，将顶点 T 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D, B, T}，B = {}。

图 6 D-T 边组成最小生成树

7) 由于 B 类中的顶点全部移到了 A 类，因此 S-A、A-C、C-D、D-B、D-T 组成的是一个生成树，而且是一个最小生成树，它的总权值为 17。

图 7 最小生成树

 

 二、代码实现

V = 6     #图中顶点的个数

cost = [[0]*V for i in range(V)]
print("输入图（顶点到顶点的路径和权值)：")
while True:
    li = input().split()
  
    p1 = int(li[0])
    p2 = int(li[1])
    if p1 == -1 and p2 == -1:
        break
    wight = int(li[2])
    cost[p1-1][p2-1] = wight
    cost[p2-1][p1-1] = wight
#查找权值最小的、尚未被选择的顶点，key 列表记录了各顶点之间的权值数据，visited列表记录着各个顶点是否已经被选择的信息
def min_Key(key,visited):
    #遍历 key 列表使用，min 记录最小的权值，min_index 记录最小权值关联的顶点
    min = float('inf')
    min_index = 0
    #遍历 key 列表
    for v in range(V):
        #如果当前顶点为被选择，且对应的权值小于 min 值
        if visited[v] == False and key[v]<min:
            #更新  min 的值并记录该顶点的位置
            min = key[v]
            min_index=v
    #返回最小权值的顶点的位置
    return min_index
#输出最小生成树
def print_MST(parent,cost):
    minCost=0
    print("最小生成树为：")
    #遍历 parent 列表
    for i in range(1,V):
        #parent 列表下标值表示各个顶点，各个下标对应的值为该顶点的父节点
        print("%d - %d wight:%d"%(parent[i]+1, i+1, cost[i][parent[i]]))
        #统计最小生成树的总权值
        minCost = minCost + cost[i][parent[i]];
    print("总权值为：%d"%(minCost))
#根据用户提供了图的信息（存储在 cost 列表中），寻找最小生成树
def find_MST(cost):
    #key 列表用于记录 B 类顶点到 A 类顶点的权值
    #parent 列表用于记录最小生成树中各个顶点父节点的位置，便于最终生成最小生成树
    #visited 列表用于记录各个顶点属于 A 类还是 B 类
    parent = [-1]*V
    key = [float('inf')]*V
    visited = [False]*V
    # 选择 key 列表中第一个顶点，开始寻找最小生成树
    key[0] = 0
    parent[0]= -1
    # 对于 V 个顶点的图，最需选择 V-1 条路径，即可构成最小生成树
    for x in range(V-1):
        # 从 key 列表中找到权值最小的顶点所在的位置
        u = min_Key(key,visited)
        visited[u] = True
        # 由于新顶点加入 A 类，因此需要更新 key 列表中的数据
        for v in range(V):
            # 如果类 B 中存在到下标为 u 的顶点的权值比 key 列表中记录的权值还小，表明新顶点的加入，使得类 B 到类 A 顶点的权值有了更好的选择
            if cost[u][v] !=0 and visited[v] == False and cost[u][v] < key[v]:
                # 更新 parent 列表记录的各个顶点父节点的信息
                parent[v] = u
                # 更新 key 列表
                key[v] = cost[u][v]
    # 根据 parent 记录的各个顶点父节点的信息，输出寻找到的最小生成树
    print_MST(parent,cost);

find_MST(cost)