python 实现 灰色预测 GM(1,1)模型 灰色系统 预测 灰色预测公式推导
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关键词：灰色预测 python 实现 灰色预测 GM(1,1)模型 灰色系统 预测 灰色预测公式推导
一、前言
本文的目的是用Python和类对灰色预测进行封装
二、原理简述
1.灰色预测概述
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：
(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
(4) 系统预测，对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。
上述灰色预测方法的共同特点是：
（1）允许少数据预测；
（2）允许对灰因果律事件进行预测，例如：
灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。
白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
（3）具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。
2.GM(1,1)模型理论
GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。已知元素序列数据：
做一次累加生成（1-AGO）序列：
其中
，
令为
的紧邻均值生成序列：
其中，
建立GM(1,1)的灰微分方程模型为：
其中，为发展系数，
为灰色作用量。设
为待估参数向量，即
，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足
其中
再建立灰色微分方程的白化方程（也叫影子方程）：
白化方程的解（也叫时间响应函数）为
那么相应的GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：
取
，
则
再做累减还原可得
即为预测方程。
注1：原始序列数据不一定要全部使用，相应建立的模型也会不同，即和
不同；
注2：原始序列数据必须要等时间间隔、不间断。
3.算法步骤
(1) 数据的级比检验
为了保证灰色预测的可行性，需要对原始序列数据进行级比检验。
对原始数据列，
计算序列的级比：
若所有的级比都落在可容覆盖
内，则可进行灰色预测；否则需要对
做平移变换，
，使得
满足级比要求。
(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。
(3) 检验预测值：
① 相对残差检验，计算
若 ，则认为达到一般要求，若
，则认为达到较高要求；
② 级比偏差值检验
根据前面计算出来的级比, 和发展系数
, 计算相应的级比偏差：
若, 则认为达到一般要求，若
, 则认为达到较高要求。
(4) 利用模型进行预测。
三、程序实现 python实现
需要安装numpy和Torch加速等
# condig:utf-8
import torch as th
import numpy as np
class GM():
def __init__(self):
# 判断是否可用 gpu 编程 , 大量级计算使用GPU
self._is_gpu = False # th.cuda.is_available()
def fit(self,dt:list or np.ndarray):
self._df :th.Tensor = th.from_numpy(np.array(dt,dtype=np.float32))
if self._is_gpu:
self._df.cuda()
self._n:int = len(self._df)
self._x,self._max_value = self._sigmod(self._df)
z:th.Tensor = self._next_to_mean(th.cumsum(self._x,dim=0))
self.coef:th.Tensor = self._coefficient(self._x, z)
del z
self._x0:th.Tensor = self._x[0]
self._pre:th.Tensor = self._pred()
# 归一化
def _sigmod(self,x:th.Tensor):
_maxv:th.Tensor = th.max(x)
return th.div(x,_maxv),_maxv
# 计算紧邻均值数列
def _next_to_mean(self, x_1:th.Tensor):
z:th.Tensor = th.zeros(self._n-1)
if self._is_gpu:
z.cuda()
for i in range(1,self._n): # 下标从0开始，取不到最大值
z[i - 1] = 0.5 * x_1[i] + 0.5 * x_1[i - 1]
return z
# 计算系数 a,b
def _coefficient(self,x:th.Tensor,z:th.Tensor):
B:th.Tensor = th.stack((-1*z, th.ones(self._n-1)),dim=1)
Y:th.Tensor = th.tensor(x[1:],dtype=th.float32).reshape((-1,1))
if self._is_gpu:
B.cuda()
Y.cuda()
# 返回的是a和b的向量转置，第一个是a 第二个是b；
return th.matmul(th.matmul(th.inverse(th.matmul(B.t(), B)), B.t()),Y)
def _pred(self,start:int=1,end:int=0):
les:int = self._n+end
resut:th.Tensor = th.zeros(les)
if self._is_gpu:
resut.cuda()
resut[0] = self._x0
for i in range(start,les):
resut[i] = (self._x0 - (self.coef[1] / self.coef[0])) * \
(1 - th.exp(self.coef[0])) * th.exp(-1 * self.coef[0] * (i))
del les
return resut
# 计算绝对误差
def confidence(self):
return round((th.sum(th.abs(th.div((self._x-self._pre),self._x)))/self._n).item(),4)
# 预测个数，默认个数大于等于0，
def predict(self,m:int=1,decimals:int=4):
y_pred:th.Tensor = th.mul(self._pre,self._max_value)
y_pred_ = th.zeros(1)
if m<0:
return "预测个数需大于等于0"
elif m>0:
y_pred_:th.Tensor = self._pred(self._n,m)[-m:].mul(self._max_value)
else:
if self._is_gpu:
return list(map(lambda _: round(_, decimals), y_pred.cpu().numpy().tolist()))
else:
return list(map(lambda _:round(_,decimals),y_pred.numpy().tolist()))
# cat 拼接 0 x水平拼接，1y垂直拼接
result:th.Tensor = th.cat((y_pred,y_pred_),dim=0)
del y_pred,y_pred_
if self._is_gpu:
return list(map(lambda _: round(_, decimals), result.cpu().numpy().tolist()))
return list(map(lambda _:round(_,decimals),result.numpy().tolist()))
if __name__=="__main__":
ls = np.arange(91,100,2)
print(type(ls))
# ls = list(range(91, 100, 2))
gm = GM()
gm.fit(ls)
print(gm.confidence())
print(ls)
print(gm.predict(m=2))
