随机变量的联合分布
1. 多项分布:每次试验都有r种可能结果,各自概率分别为p1,p2,...pr,令Xi表示n次试验中第i个结果出现的次数,那么:
P{X1=n1, X2=n2, ... Xr=nr}=n!/(n1!n2!...nr!)·p1n1p2n2...prnr
解释:总试验次数为n,各种可能出现次数分别为n1,...nr,这可看作是一个分堆问题。
2. 联合随机变量独立的条件:
对连续随机变量,F(a,b)=FX(a)FY(b) --OR-- f(x,y)=fX(x)fY(y)
对离散随机变量,p(x,y)=pX(x)pY(y)
大体上可以这么理解:一个变量的取值不影响另一个变量的分布。
3. X+Y的分布函数FX+Y(a)=∫(-∞,+∞)FX(a-y)fY(y)dy
X+Y的概率密度fX+Y(a)=∫(-∞,+∞)fX(a-y)fY(y)dy
这个和一般意义上的卷积式子是一样的。
4. 如果Xi(i=1,...n)是服从参数为(μi, σi2)的正态分布的独立随机变量,那么∑Xi服从参数为∑μi和∑σi2的正态分布。
5. 如果独立随机变量X,Y服从参数为λX,λY的泊松分布,那么X+Y服从参数为λX+λY的泊松分布。
6. 若随机变量X,Y独立,那么条件概率密度等于边缘概率密度。
解释:X,Y独立,所以Y不影响X的取值,有没有Y的条件无所谓。反之亦然。