优先级队列

优先级队列（完全二叉树）

1. 体会优先级的概念，优先级的作用。比如getMax() delMax() insert() 的高效需求。
2. 思考：为什么不用向量实现优先级队列？查询效率，摘除的效率低。O(n)。
3. 思考：为什么不用有序向量实现优先级队列？插入效率低。O(n)。
4. 可以用AVL，伸展树，红黑树实现优先级队列吗？答案是：可以。不过 ----“杀鸡焉用牛刀”

优先级队列在逻辑上等同于完全二叉树，在物理上可以用向量实现。我们只需要get_max 和 delete_max 操作。

 

一，完全二叉树的插入和上滤：直接将插入的元素放入向量末尾，进行上滤。如若不满足堆序性，则交换该节点和父节点的位置，逐层调整。最坏O(logn)，通常情况下上升的层数为常数。

常系数效率的改进：在上滤的过程中最多上升logn层,每上升一层都要进行一次swap 操作 需要3logn的赋值。--》可以减少赋值操作，发生上滤的时刻，我们只需将父节点下移，直到不再上滤，再将该节点赋值到该位置logn+2。

二，完全二叉树的删除和下滤：删除max节点后，将末尾元素移至堆顶，进行下滤。 如若不满足堆序性，则交换该节点和较大子节点的位置，逐层调整。最坏O(logn)。

常系数效率的改进：与上滤同。

 

三，批量建堆：

1. 自上而下的上滤O(nlogn)：一个一个的插入，但是代价比较大。
2. 自下而上的下滤O(n)：我们可以采用自下而上的建立，对每一个节点进行下滤，即可快速建堆。
3. 两种算法的差异，自上而下正比于其深度，自下而上正比于其高度。--好似人类社会金字塔。sum(height(i)) = O(n), sum(depth(i)) = O(nlogn)

 

 四，堆排序

选择排序 :O(n^2)，选择排序分成已排序和未排序两部分，用向量存储未排序的部分，逐个从未排序部分选出最大值放入已排序部分。

堆排序：就是用更高级的数据结构去组织未排序部分，建立一个堆，从中一个一个的取出最大元。

堆排序的时间 建堆需要O(n)，取最大元需要logn，取n次 总：O(nlogn)。

堆排序的空间 可以就地完成：只需要对向量的元素从后往前逐个进行和max节点交换和下滤操作。

 

五，左式堆 

为什么引入新的变种左式堆？ --更加高效的完成两个堆的合并。

合并两个堆可以采用自下而上的批量建堆的方法 ，时间复杂度位O(n)。--》不满意

我们没有利用好两个堆已有的特点。--》更高效的方法--》左式堆。

合并两个m 和 n的堆的时间复杂度O(logm + logn)

左式堆已经不是一棵完全二叉树了，但是又何妨？。

NPL（NULL path length）：是该点到外部节点的最近距离，是以该点为根的极大满子树的高度。

左式堆：保持堆序性质，附加新条件，使得在堆合并过程中，只要调整很少部分的节点 O(logn)。

新条件：单侧倾斜，节点倾向于左侧，合并操作只涉及右侧。

 

 

左倾性：对任何内部节点，都有npl ( lc( x ) ) >= npl ( rc( x ) )，npl ( x ) = 1 + npl( rc(x）) ，npl（x）= 1 + min（npl（l c(x)）, npl ( rc (x) ）。

左式堆的子堆必是左式堆，更多节点倾向于左侧。

 

合并时间复杂度：

 

左式堆的合并算法：递归，有AB两个堆，将A的右子堆取出与B合并，合并的结果继续作为A的右子堆，在合并返回之后，比较npl值，调整位置。整个过程依据右侧链进行，O(logn)。

（插入删除皆是合并）。