循环不变式

引言

　　算法程序形式化设计和证明是确保算法程序逻辑结构正确的最理想途径，是保证软件可靠性的有效手段之一；而体现了算法程序本质特征的循环不变式在算法程序形式化方法中具有十分重要的作用。循环不变式是程序设计理论中的一个重要概念。这一概念的建立在程序设计从艺术走向科学这一历史性的转变过程中起着巨大的推动作用，它不仅可以帮助人们理解那些难以理解的、精巧的循环算法程序，而且可以用来形式化地证明循环算法程序的正确性，也有助于形式化地开发出高质量的循环程序。

　　然而循环不变式的开发一直是算法程序设计领域中最具挑战性、最富有创造性的问题之一，许多计算机科学家和计箅机工作者也致力于这方面的研究。目前，人们把循环不变式定义为在循环的每次执行前后都为真的谓词。

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定义

循环不变式：反映循环体中所有循环变量的变化规律并在循环体执行前后都为真的谓词称为该循环体的循环不变式。

循环变量：在循环体中，其值随着循环体的执行不断发生变化的变量称为循环变量。

算法导论第二章中的原文是：We state these properties of A[1 ‥ j -1] formally as a loop invariant。其中举的例子是插入排序，每次循环从数组A中取出第j个元素插入有序区A[1 .. j-1]，然后递增j。这样A[1 .. j-1]的有序性始终得到保持，这就是所谓的“循环不变 (loop invariant)”了。

这个概念主要用来检验算法的正确性。原文如下：

We use loop invariants to help us understand why an algorithm is correct. We must show three things about a loop invariant:

Initialization: It is true prior to the first iteration of the loop.

Maintenance: If it is true before an iteration of the loop, it remains true before the next iteration.

Termination: When the loop terminates, the invariant gives us a useful property that helps show that the algorithm is correct.

1. 初始化（循环第一次迭代之前）的时候，A[1 ‥ j -1]的“有序性”是成立的；

2. 在循环的每次迭代过程中，A[1 ‥ j -1]的“有序性”仍然保持；

3. 循环结束的时候，A[1 ‥ j -1]的“有序性”仍然成立。

编写循环时，找到让每次循环都成立的逻辑表达式很重要。这种逻辑表达式称为循环不变式（loop invariant）。循环不变式相当于用数学归纳法证明的“断言”。

循环不变式用于证明程序的正确性。在编写循环时，思考一下“这个循环的循环不变式是什么”就能减少错误。

举例应用

以一个非常简单的例子来讲解循环不变式吧。

代码清单是用C 语言写的sum 函数，功能是求出数组元素之和。参数array[] 是要求和的对象数组，size 是这个数组的元素数。调用sum 函数，会获得array[0] 至array[size-1] 的size 个元素之和。

代码清单--sum函数，求出数组的元素之和

int sum(int array[], int size)
{
    int k = 0;
    int s = 0;
    while(k < size) {
        s = s + array[k];
        k = k + 1;
    }
    return s;
}