二叉堆(binary heap)
堆(heap) 亦被称为：优先队列(priority queue)，是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因而实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。
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逻辑定义
n个元素序列{k1,k2...ki...kn},当且仅当满足下列关系时称之为堆：
(ki <= k2i, ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i, ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)
二叉堆一般用数组来表示。如果根节点在数组中的位置是1，第n个位置的子节点分别在2n和 2n+1。因此，第1个位置的子节点在2和3，第2个位置的子节点在4和5。以此类推。这种基于1的数组存储方式便于寻找父节点和子节点。
如果存储数组的下标基于0，那么下标为i的节点的子节点是2i + 1与2i + 2；其父节点的下标是⌊(i − 1) ∕ 2⌋。
如下图的两个堆：
1 11
/ \ / \
2 3 9 10
/ \ / \ / \ / \
4 5 6 7 5 6 7 8
/ \ / \ / \ / \
8 9 10 11 1 2 3 4
将这两个堆保存在以1开始的数组中：
位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 左图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 右图: 11 9 10 5 6 7 8 1 2 3 4
性质
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。
最小堆 最大堆
堆支持以下的基本操作:
- build：建立一个空堆；
- insert：向堆中插入一个新元素；
- update：将新元素提升使其符合堆的性质；
- get：获取当前堆顶元素的值；
- delete：删除堆顶元素；
- heapify：使删除堆顶元素的堆再次成为堆。
某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。
基本操作实现：
1、删除优先级最高的元素（DeleteMin）
此操作分3步：
（1）直接删除根
（2）用最后一个元素代替根
（3）将堆向下重新调整
输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之；然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较，并与其中小者进行交换；重复上述操作，直到是叶子结点或其关键字值小于等于左、右子树的关键字的值，将得到新的堆。称这个从堆顶至叶子的调整过程为“筛选”
调整堆算法实现如下：
void down(int p) /* 调整堆算法 */ { int q = p * 2; /* 向下调整算法，p代表当前结点，q代表子结点 */ a = heap[p]; /* 保存当前结点的值 */ while(q <= hlength) { /* hlength为堆中元素的个数 */ /* 选择两个子节点中的一个最小的 */ if(q < hlength && heap[q] > heap[q + 1]) q++; if(heap[q] >= a) { /* 如果当前结点比子节点小，就结束*/ break; } else { /* 否则就交换 */ heap[p] = heap[q]; p = q; q = p * 2; } } heap[p] = a; /* 安排原来的结点 */ }
删除最小元素，返回该最小元素：
int DeleteMin() { /* 删除最小元素算法 */ int r = heap[1]; /* 取出最小元素 */ heap[1] = heap[hlength--]; /* 把最后一个叶子结点赋值给根结点 */ down(1); /* 调用向下调整算法 */ return r; }
2、在堆中插入一个新元素Insert(x):
向上调整算法：
void up(int p) { /* 向上调整算法，p代表当前结点，q代表父结点 */ int q = p / 2; /* 获取当前结点的父结点 */ a = heap[p]; /* 保存当前结点的值 */ while(q >= 1 && a < heap[q]) { heap[p] = heap[q]; /* 如果当前结点的值比父母结点的值小，就交换 */ p = q; q = p / 2; } heap[p] = a; /* 安排原来的结点 */ }
插入元素算法：
void insert(int a) { heap[++hlength] = a; /* 先往堆里插入结点值 */ up(hlength); /* 向上调整 */ }
3、将x的优先级上升为p：
void IncreaseKey(int a, int p) /* 把p的优先级升为a */ { if(heap[p] < a) return; heap[p] = a; up(p); }
4、建立堆:
void bulid() /* 建堆算法 */ { int i; for(i = hlength / 2; i > 0; i--) down(i); /* 从最后一个非终端结点开始进行调整 */ }
编程实践
poj2051 Argus
http://poj.org/problem?id=2051
#include<stdio.h> #include<string.h> char str[10]; typedef struct Node { int now, Q, P; }Node; Node node[3001]; void down(Node H[], int s, int m) { int j; Node rc = H[s]; for(j = s * 2; j <= m; j *= 2) { if(j < m) { if(H[j].now > H[j + 1].now) { j++; } else { if((H[j].now == H[j + 1].now) && (H[j].Q > H[j + 1].Q)) j++; } } if(rc.now < H[j].now || (rc.now == H[j].now && rc.Q < H[j].Q)) break; H[s] = H[j]; s = j; } H[s] = rc; } void BulidMinHeap(Node H[], int length) { int i; for(i = length / 2; i > 0; i--) down(H, i, length); } void solve() { int i, len, K; i = 1; while(scanf("%s", str) && str[0] == 'R') { scanf("%d %d", &node[i].Q, &node[i].P); getchar(); node[i].now = node[i].P; i++; } len = i - 1; scanf("%d", &K); BulidMinHeap(node, len); for(i = 1; i <= K; i++) { printf("%d\n", node[1].Q); node[1].now += node[1].P; down(node, 1, len); } } int main() { solve(); return 0; }
参考资料
1、Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein（潘金贵等译）《算法导论》. 机械工业出版社.
2、Vuillemin, J. (1978). A data structure for manipulating priority queues.Communications of the ACM21, 309–314.
3、ACM/ICPC 算法训练教程
4、《数据结构》严蔚敏、吴伟民
5、维基百科
