poj 1637 求混合图的欧拉回路

网上摘的一些知识点

基础知识

    欧拉回路是图G中的一个回路，经过每条边有且仅一次，称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。

    无向图中存在欧拉回路的条件：每个点的度数均为偶数。

    有向图中存在欧拉回路的条件：每个点的入度=出度。

    欧拉路径比欧拉回路要求少一点：

    无向图中存在欧拉路径的条件：每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。

    有向图中存在欧拉路径的条件：除了2个点外，其余的点入度=出度，且在这2个点中，一个点的入度比出度大1，另一个出度比入度大1。

     欧拉路径的输出：经典的套圈算法。

 

    下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。

    混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。

    建模：

    把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。

    好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

    现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。

    首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。
    之后，察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 
    由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 
    所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

这道题算是经典题目了吧

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAX=250;
const int INF=1000000000;
struct
{
    int v,c,next;
}edge[1000000];
int E,head[MAX];
int gap[MAX],cur[MAX];
int pre[MAX],dis[MAX];
void add_edge(int s,int t,int c,int cc)
{
    edge[E].v=t; edge[E].c=c;
    edge[E].next=head[s];
    head[s]=E++;
    edge[E].v=s; edge[E].c=cc;
    edge[E].next=head[t];
    head[t]=E++;
}
int min(int a,int b){return (a==-1||b<a)?b:a;}
int SAP(int s,int t,int n)
{
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)cur[i]=head[i];
    int u=pre[s]=s,maxflow=0,aug=-1,v;
    gap[0]=n;    
    while(dis[s]<n)
    {
loop:    for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            v=edge[i].v;
            if(edge[i].c>0&&dis[u]==dis[v]+1)
            {
                aug=min(aug,edge[i].c);
                pre[v]=u;
                cur[u]=i;
                u=v;
                if(u==t)
                {
                    for(u=pre[u];v!=s;v=u,u=pre[u])
                    {
                        edge[cur[u]].c-=aug;
                        edge[cur[u]^1].c+=aug;
                    }
                    maxflow+=aug;
                    aug=-1;
                }
                goto loop;
            }
        }
        int mindis=n;
        for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            v=edge[i].v;
            if(edge[i].c>0&&dis[v]<mindis)
            {
                cur[u]=i;
                mindis=dis[v];
            }
        }
        if((--gap[dis[u]])==0)break;
        gap[dis[u]=mindis+1]++;
        u=pre[u];
    }
    return maxflow;
}
int in[MAX];
int main()
{
    int t,i,j,a,b,c,m,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {    
        memset(head,-1,sizeof(head));
        E=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(in,0,sizeof(in));
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            in[a]--;in[b]++;
            if(!c) add_edge(a,b,1,0);
        }
        bool ok=true;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(in[i]&1)
                ok=false;
        }
        int s=n+1,t=n+2;
        int sum=0;
        if(ok)
        {
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
                if(in[i]<0) 
                {
                    sum+=(-in[i])>>1;
                    add_edge(s,i,(-in[i])>>1,0);
                }
                else add_edge(i,t,in[i]>>1,0);
            }
            ok=SAP(s,t,n+2)==sum;
        }
        if(ok) printf("possible\n");
        else printf("impossible\n");
    }
    return 0;
}