poj 2478 3090法雷级数初体验。。。
引自百度百科
R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表：
F1： 0/1 1/1
F2： 0/1 1/2 1/1
F3： 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
F4： 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1
F5： 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1
F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1
…… ………………………………
这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢？
我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ（n）。即
ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）
ψ（1）=1+φ（1）
ψ（2）=ψ（1）+φ（2）
ψ（3）=ψ（2）+φ（3）
………………
ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）
所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ（n）是个偶数。由此我们得到除ψ（1）=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。
编辑本段性质
法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质：
1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs（a*d-b*c）=1。
2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F（n-1），则c=a+e；d=b+f。
性质2对于这个问题至关重要，它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章
关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F（n−1）到F（n）的构造过程中，F（n）的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F（n）中。
View Code
1 #include<stdio.h>
2 #include<string.h>
3 const int MAX = 1000010;
4 int D[MAX];
5 void phi()
6 {
7 int i,j;
8 memset(D,0,sizeof(D));
9 D[1]=1;
10 for(i=2;i<=MAX;i++)
11 {
12 if(!D[i])
13 {
14 for(j=i;j<=MAX;j+=i)
15 {
16 if(!D[j]) D[j]=j;
17 D[j]=D[j]/i*(i-1);
18 }
19 }
20 }
21 }
22 int main()
23 {
24 int n;
25 phi();
26 while(scanf("%d",&n),n)
27 {
28 __int64 sum=0;
29 for(int i=2;i<=n;i++)
30 sum+=D[i];
31 printf("%I64d\n",sum);
32 }
33 return 0;
34 }
另一题也是用到了法雷级数这个性质 poj 3090
第k列上的一个点的纵坐标为d,若gcd(k,d) != 1,则远带你与该点的连线必须通过（k/gcd,d/gcd）,肯定被挡住了
View Code
1 #include<stdio.h>
2 #include<string.h>
3 const int MAX = 1005;
4 int D[MAX];
5 void phi()
6 {
7 int i,j;
8 memset(D,0,sizeof(D));
9 D[1]=1;
10 for(i=2;i<=MAX;i++)
11 {
12 if(!D[i])
13 {
14 for(j=i;j<=MAX;j+=i)
15 {
16 if(!D[j]) D[j]=j;
17 D[j]=D[j]/i*(i-1);
18 }
19 }
20 }
21 }
22 int main()
23 {
24 int n,t,cases=1;
25 phi();
26 scanf("%d",&t);
27 while(t--)
28 {
29 scanf("%d",&n);
30 __int64 sum=3;
31 for(int i=2;i<=n;i++)
32 sum+=2*D[i];
33 printf("%d %d %I64d\n",cases++,n,sum);
34 }
35 return 0;
36 }
