洛谷 P1516 青蛙的约会 题解

一道简单的数学题～

首先分析题意。精简得出：假设跳了 $t$ 次，那么青蛙A的坐标是 $(x+mt)\mathrm{mod}L$，青蛙B的坐标是 $(y+nt)\mathrm{mod}L$，列出方程：

$$x+mt\equiv y+nt(\mathrm{mod}L)$$

由于余数具有可减性，所以把 $y+nt$ 移到左边，得出：

$$x-y+mt-nt\equiv 0(\mathrm{mod}L)$$

写成人话：

$$(x-y+mt-nt)\mathrm{mod}L=0$$

由于 $\mathrm{mod}L$ 等于减去非负整数个 $L$，假设减去了 $s$ 个 $L$，得出：

$$x-y+mt-nt-sL=0$$

是不是有点扩展欧几里德的味道了？接下来尝试着一些变形，容易得出：

$$(m-n)t-s\cdot L=y-x$$

如果你还没有看出来：

$$(m-n)x_0-L\cdot y_0=y-x$$

直接代入求解即可。特别的，若无解，那么 $y-x$ 不是 $gcd(m-n,L)$ 的倍数。

所以就可以开开猩猩的写代码辣～仅需稍微注意 $x_0$ 为负数的情况，然后这道题就 AC 辣～

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return g;
}
signed main(){
	int x,y,m,n,L,s,t;
	cin>>x>>y>>m>>n>>L;
	int g=exgcd(n-m,L,s,t);
	if((x-y)%g!=0){
		cout<<"Impossible";
		return 0;
	}
	cout<<((s*(x-y)/g)%abs(L/g)+abs(L/g))%abs(L/g);
	return 0;
}