IEEE浮点数

IEEE浮点数

在这节课中讲解了有关于浮点数的相关内容，对我来说在理解上比整数的补码表示要复杂的多，这里总结一下课上的内容以及自己的一些理解。

首先要知道对于小数来说，二进制只能准确表示形如x/2^k这种有理数，不满足这种形式的数需要循环重复位才能被准确表示，但是计算机的位数始终是有限的，因此这些数无法被准确表示。

另外，在有限的位数中，小数点的位置会对表示数的范围以及表示的数的精度产生影响。比如小数点靠左的话，所能表示数的范围就变小了，但是因为小数点右边的位数增加，因此所能表示的小数精度上升了。反之，同理。

基于上述描述，选用了浮点数这一折中的方法。浮点数的一般形式：(-1)^S×M×2^E。其中，

• S表示符号位，决定浮点数的正负，对于数值0也分正负0这种特殊情况
• M表示尾数，是一个二进制小数
• E表示阶码

浮点数的位被划分为三个字段，分别对上述字段进行编码。符号位s直接编码符号位S，k位的阶码编码阶码E，剩下n位数字编码尾数M，这个编码出来的数值也与阶码是否为0有关，后续会介绍到。

下面以C语言中的单精度浮点数(即float)来举例说明计算机中对于浮点数的编码。
对于32位的浮点数，最高的一位用于表示符号，接下来的8位用于编码阶码，最后23位用于编码尾数。对于符号位的编码很容易，0表示正数，1表示负数。根据k位的阶码的值的不同，被编码的值可以分成三种情况：规格化的值，非规格化的值以及特殊值。下面将分别介绍这三种，并在最后给出总结。

1. 规格化的值。

规格化的值的特点是用于编码阶码E的k位的数值既不全为0，也不全为1。在这里，阶码E被表示为E = e - Bias。e则是计算机中k位无符号数，取值范围在0-255(对于float而言)之间，Bias则是一个值为2^(k-1)-1的偏置值，因为这种设置，阶码所能取到的值刚好使得0处于中间位置。剩下用于表示尾数的小数字段f，则M=f+1，相当于有一个隐含的以1开头的表示，因此M的范围就是M>=1 && M < 2。

2. 非规格化的数。

当阶码域，即e全为0时，表示的数是非规格化形式。此时阶码值E=1-Bias，尾数M=f，并不包含隐含的1。

这里使阶码值为1-Bias而不是直觉上的-Bias,是为了提供一种从非规格化值平滑到规格化值的方法。举个例子说明这种平滑过渡：假定有8位格式，一位符号位，4位阶码和3位尾数，那么最大的非规格化值则是7/512，最小的规格化值则是8/512，实现了平滑过渡。

非规格化数有两个用途：

1. 提供了一种表示0的方法。由于规格化数的尾数部分始终大于等于1，因此无法表示0。那么这时候就会产生符号位为0/1，阶码域与尾数域均为0的+0.0与-0.0的情况。书中没有具体说明两者不同与相同的情况，只是说了在某些方面被认为是不同的，在某些方面是相同的。
2. 另外一个功能是表示那些非常接近0.0的数。这里提到了一种称为逐渐下溢(gradual underflow)的属性，使可能的数值均匀地接近于0。

查了一点有关于逐渐下溢的内容，从字面上理解就是一个逐渐朝会下溢的方向走，但是如果使用之前提到的规格化值是无法实现这个目的的，因此诞生了非规格化数来实现这个不断接近0的过程，就可以表达出更小的数字了

3.特殊的值

特殊值指的是阶码域全为1的时候。此时，当小数域全为0时则表示无穷，符号位为0是正无穷，符号位为1是负无穷。无穷能够表示溢出的结果。如果小数域不为0，结果值被称为NaN(Not a Number)。

到这里就介绍完了C语言中浮点数的表示的介绍，可以看到前人在表示小数上的智慧，通过一系列设计使得计算机表示小数的方式更加合理。接下来，将介绍浮点数在实际计算中的一些性质，主要是介绍舍入以及浮点数运算的基本情况。

舍入

根据IEEE的标准，有四种舍入方式：向上舍入，向下舍入，向0舍入，向偶数舍入。其中向偶数舍入有其统计学上的意义，即50%的情况下向上舍入，50%的情况下向下舍入。在支持IEEE浮点数的机器上，使用向偶数舍入的舍入方式。

这里是否是偶数只考虑最低有效位是否是偶数

浮点数运算

浮点数运算中，令我印象最深刻的则是加法/乘法均不符合结合律。

(3.14+1e10)-1e10 != 3.14 + (1e10-1e10)

但是浮点数加法/乘法满足单调性，这是无符号数或者补码的加法/乘法所没有的。

单调性即，如果a >= b,那么对于任何的a,b,x(除了NaN),都有x+a>=x+b

C语言中，在进行类型转换时，int->double不会有损失，而int->float时，由于int的位数比float的尾数位数多，因此会出现舍入。

总结

这篇笔记基于《深入理解计算机系统》以及作者相应的课程。有关于浮点数值得探究的内容还有很多，这里只是做了个一个大致的介绍，在遇到实际的问题时，还需要具体问题具体分析，结合语言特点解决问题。比如C语言的标准并不要求机器使用IEEE浮点，因此没有标准的方法来改变舍入方式或者得到-0，+∞、-∞或者NaN之类的特殊值。

参考资料

深入理解计算机系统原书第三版