欧拉函数证明及其性质

欧拉函数证明

欧拉函数定义：定义一个数n，φ(n)为不大于n的，与n互质的数的个数。

证明方法用到容斥定理：容斥定理的原理如图：      

                 

A∪B∪C=A+B+C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C;

欧拉函数证明：

　　小于等于n的基数有n个，讨论所有n的素因子，只要是素因子的倍数的是都不是n的互质数。

首先如果如果n为素数那么，φ(n)=n-1；

如果n不是素数，只要除去n的质因子和n的质因子的倍数就可以了，①因为任意一个数都能表示成若干个素数的乘积，所以只要除去质因子的以及倍数就够可以了，因为如果除去的不是质因子，那么这个因子还能继续被分解成若干个质因子的乘积又能被n整除，综上那么就有基数n减去所有是质因子倍数的个数，然后加上任意两个，减三个，加四个…质因子积的倍数（容斥定理），②φ(n)=n - (n/p1 + n/p2 + n/p3 + n/p4 …. + n / pn - n / (p1 * p2) - n / (p1 * p3) ) …（容斥定理pn为质因子），所以②式得出的就是所有的互质数的个数。可化简为φ(n)=n*(1-1/p1) *(1-1/p2) *(1-1/p3)…*(1-1/pk);

 

①式证明：当n=2时，显然成立；

                假设当n=k时成立；

                那么当n=k+1时，如果n是素数那么显然成立，如果不是素数那么n一定能分解成两个数的乘积，又因为n=k时是成立的，所有综上所述结论成立

另外欧拉函数还有两条重要的性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);