《算法导论》读书笔记之图论算法—Dijkstra 算法求最短路径
自从打ACM以来也算是用Dijkstra算法来求最短路径了好久，现在就写一篇博客来介绍一下这个算法吧 :)
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，
但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。
首先，大家需要明确的是，Dijkstra算法是用来解决non-negative-weight的最短路程问题的
如果图中存在负权图，可以尝试使用 Bellman-Ford 暴力法或者 SPFA 算法解决
那么用它能来解决什么问题呢？
我之前写过如下几篇博文
- 多个起点，一个终点，求从起点到终点的最短路（也可以理解成可以解决多点到多点的最短路）http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3647246.html
- 第k短路（与A*算法有关） http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3892970.html
- 临接表下Dijkstra实现模板以及带heap优化http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3714674.html
下面来一个最容易理解的Dijkstra C++实现版本 （邻接矩阵）：
1 const int MAXINT = 32767; 2 const int MAXNUM = 10; 3 int dist[MAXNUM]; 4 int prev[MAXNUM]; 5 6 int A[MAXUNM][MAXNUM]; 7 8 void Dijkstra(int v0) 9 { 10 bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中 11 int n=MAXNUM; 12 for(int i=1; i<=n; ++i) 13 { 14 dist[i] = A[v0][i]; 15 S[i] = false; // 初始都未用过该点 16 if(dist[i] == MAXINT) 17 prev[i] = -1; 18 else 19 prev[i] = v0; 20 } 21 dist[v0] = 0; 22 S[v0] = true; 23 for(int i=2; i<=n; i++) 24 { 25 int mindist = MAXINT; 26 int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 27 for(int j=1; j<=n; ++j) 28 if((!S[j]) && dist[j]<mindist) 29 { 30 u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 31 mindist = dist[j]; 32 } 33 S[u] = true; 34 for(int j=1; j<=n; j++) 35 if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT) 36 { 37 if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径 38 { 39 dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist 40 prev[j] = u; //记录前驱顶点 41 } 42 } 43 } 44 }
算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，
第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，
以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），
第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，
是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法实例
先给出一个无向图
下面的表格可以帮助大家理解算法
资料来源：http://cnblogs.com/wushuaiyi
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
