Codeforces Round 921 (Div. 2)

https://codeforces.com/contest/1925

恶心round，从C题开始每题都是一眼看出做法但是细节挺多的题，烦的一比。

A. We Got Everything Covered! *800

给定 \(n,k\)，若所有长度为 \(n\) 且仅由字母表中前 \(k\) 个小写字母组成的串都是 \(s\) 的子序列，则称 \(s\) 是 "Everything Covered" 的。请构造串 \(s\)。

这样构造：abcdabcdabcd

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

void sol() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    while (n--) {
        for (int i = 0; i < k; i++)
            cout << char('a' + i);
    }
    cout << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T; cin >> T; while (T--)
        sol();
}

B. A Balanced Problemset? *1200

把 \(x\) 分成 \(n\) 个大于零的数之和，这些数的 \(gcd\) 最大是多少？

\(x\le 10^{8}\)

这些数都能表示成它们的 \(gcd\) 的倍数，\(gcd\) 必是 \(x\) 的因子，枚举因子即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

void sol() {
    int x, n;
    cin >> x >> n;
    vector<int> d;
    for (int i = 1; i <= x / i; i++) {
        if (x % i) continue;
        d.push_back(i);
        if (i != x / i) d.push_back(x / i);
    }
    sort(d.begin(), d.end());
    for (int di : d) {
        if (di >= n) return cout << x / di << '\n', void();
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T; cin >> T; while (T--)
        sol();
}

C. Did We Get Everything Covered? *1500

判断给定串是不是 "Everything Covered" 的。如果不是，构造反例。

这样构造反例：每次选“最晚出现的字符”

感觉这个人的方法比我帅多了 https://zhuanlan.zhihu.com/p/680178758

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

void sol() {
    int n, k, m;
    string s;
    cin >> n >> k >> m >> s;
    vector<int> p(k, m), f(m); //后缀中首次出现位置最晚的字符出现的位置
    for (int i = m - 1; ~i; i--) {
        p[s[i] - 'a'] = i;
        for (int j : p) f[i] = max(f[i], j);
    }
    
    string ans;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (f[i] < m) {
            ans += s[f[i]];
            i = f[i];
            if (ans.size() == n)
                return cout << "YES\n", void();
        } else {
            vector<bool> occ(k);
            for (int j = i; j < m; j++)
                occ[s[j] - 'a'] = true;
            int c = 0; while (occ[c]) c++;
            while (ans.size() < n) ans += char(c + 'a');
            cout << "NO\n" << ans << '\n';
            return;
        }
    }
    while (ans.size() < n) ans += 'a';
    cout << "NO\n" << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T; cin >> T; while (T--)
        sol();
}

D. Good Trip *1900

有 \(n\) 个同学，其中有 \(m\) 对朋友，第 \(i\) 对朋友有友谊值 \(f_i\)。老师每次随机（从所有 \(C_n^2\) 对中）选一对人，共选 \(k\) 次。一对朋友被选中后，答案加上他们当前的友谊值，然后他们的友谊值增加 \(1\)。问答案的期望。

\(n,m\le 1e5, k\le 2e5\)

考虑第 \(i\) 对朋友对答案的贡献。\(f_i\) 被加入答案的概率为 \(P(1)\)，\(f_i+1\) 被加入答案的概率为 \(P(2)\)，以此类推。

\(P(x)\) 为第 \(i\) 对朋友被选择的次数 \(\ge x\) 的概率，\(P(x)=\sum_{j=x}^k C_k^j p^j(1-p)^{k-j}\)，其中 \(p=1/C_n^2\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int P = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 5;

ll fac[N], ifac[N];

ll qmi(ll a, ll b) {
    ll s = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) s = s * a % P;
        a = a * a % P;
    }
    return s;
}

ll C(ll n, ll k) {
    if (n < k) return 0;
    return fac[n] * ifac[k] % P * ifac[n - k] % P;
}

void sol() {
    ll n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    
    ll sp = 0, sip = 0, ans = 0;
    
    ll p = qmi(n * (n - 1) / 2 % P, P - 2), q = (1 - p + P) % P;
    
    for (ll i = k, s = 0; i; i--) {
        (s += C(k, i) * qmi(p, i) % P * qmi(q, k - i) % P) %= P;
        (sp += s) %= P;
        (sip += i * s % P) %= P;
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        ll a, b, f;
        cin >> a >> b >> f;
        ans += (f - 1) * sp % P + sip;
    }
    cout << (ans % P + P) % P << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    ifac[N - 1] = qmi(fac[N - 1], P - 2);
    for (int i = N - 1; i; i--)
        ifac[i - 1] = ifac[i] * i % P;
    
    int T; cin >> T; while (T--)
        sol();
}
 

E. Space Harbour *2100

树状数组或者线段树 区间加差分数组、区间求和，把模板题代码拉过来微调一下就行

牛牛的等差数列（树状数组，区间加等差数列、区间求和）

我写的是树状数组维护二阶差分

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

struct BIT {
    int n; vector<ll> tr;
    BIT(int n): n(n), tr(n + 1) {}
    int lowbit(int x) { return x & -x; }
    void add(int p, ll x) { for (; p <= n; p += lowbit(p)) tr[p] += x; }
    ll ask(int p) { ll s = 0; for (; p > 0; p -= lowbit(p)) s += tr[p]; return s; }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    
    BIT c(n), kc(n), kkc(n);
    auto add = [&](int p, ll x) { //对c数组的单点加
        c.add(p, x); kc.add(p, x * p); kkc.add(p, x * p * p);
    };
    auto upd = [&](int l, int r, ll a, ll d) { //a数组区间加等差数列
        add(l, a);
        add(l + 1, d - a);
        add(r + 1, -(a + d * (r - l + 1)));
        add(r + 2, (a + d * (r - l)));
    };
    auto ask = [&](int n) {
        ll s = c.ask(n) * (n + 1) * (n + 2);
        s -= (2 * n + 3) * kc.ask(n);
        s += kkc.ask(n);
        return s / 2;
    };
    
    vector<pair<int, int>> harbour(m);
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> harbour[i].first;
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> harbour[i].second;
    sort(harbour.begin(), harbour.end()); //题目没说港口是有序的...
    
    auto modify = [&](int x1, int v1, int x2, ll ty = 1) { //del=-1表示删除序列
        upd(x1 + 1, x2, ty * v1 * (x2 - x1 - 1), -ty * v1);
    };
    
    set<pair<int, int>> S;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (i > 0)
            modify(harbour[i - 1].first, harbour[i - 1].second, harbour[i].first);
        S.insert(harbour[i]);
    }
    
    while (q--) {
        int t; cin >> t;
        if (t == 1) {
            int x, v; cin >> x >> v;
            auto it = S.lower_bound({x, v});
            auto [x2, v2] = *it;
            auto [x1, v1] = *prev(it);
            modify(x1, v1, x2, -1);
            modify(x1, v1, x);
            modify(x, v, x2);
            S.insert({x, v});
        } else {
            int l, r; cin >> l >> r;
            cout << ask(r) - ask(l - 1) << '\n';
        }
    }
    
    return 0;
}
 

F. Fractal Origami *2400 分母有理化

折纸，正方形的纸边长为 \(1\)，每次把四个角往内折，得到新的更小的正方形。最后展开，折痕分为峰和谷两类，峰与谷的长度之比 \(M/V\) 一定是 \(A+B\sqrt2\) 的形式，\(A,B\) 均为有理数。请输出 \(B\)。

找规律，列式子，分母有理化

拿张纸巾折了几次，发现第 \(2\) 次 \(M,V\) 均增加 \(2\)，第 \(3\) 次 \(M,V\) 均增加 \(2\sqrt2\)。大胆猜测每次 \(M,V\) 均增加上次增加长度的 \(\sqrt2\) 倍。然后就是臭不可闻的列式子+疯狂有理化

\[M = \frac{2(\sqrt 2 ^{n-1}-1)}{\sqrt2-1} = 2(\sqrt 2 ^{n-1}-1)(\sqrt2 + 1) = 2(\sqrt2^n-1+\sqrt2^{n-1}-\sqrt2) \\V = M + 2\sqrt2 = 2(\sqrt2^n-1+\sqrt2^{n-1}) \\ \frac{M}{V} = \frac{\sqrt2^n-1+\sqrt2^{n-1}-\sqrt2}{\sqrt2^n-1+\sqrt2^{n-1}} \]

当 \(n\) 为奇数时，

\[\frac{M}{V} = \frac{2^{(n-1)/2}\sqrt2-1+2^{(n-1)/2}-\sqrt2}{2^{(n-1)/2}\sqrt2-1+2^{(n-1)/2}} \]

当 \(n\) 为偶数时，

\[\frac{M}{V} = \frac{2^{n/2}-1+2^{(n-2)/2}\sqrt2-\sqrt2}{2^{n/2}-1+2^{(n-2)/2}\sqrt2} \]

太丑了，设一下继续算

\[\frac{M}{V} = \frac{(x-1)\sqrt2+y}{x\sqrt2+y} = \frac{y}{2x^2-y^2}\sqrt2+一个有理数 \]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int P = 999999893;
const int N = 2e5 + 5;

ll fac[N], ifac[N];

ll qmi(ll a, ll b) {
    ll s = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) s = s * a % P;
        a = a * a % P;
    }
    return s;
}

void sol() {
    ll n;
    cin >> n;
    ll x = qmi(2, n / 2 - !(n & 1)), y = qmi(2, n / 2) - 1;
    cout << (y * qmi((2 * x * x % P - y * y % P) % P, P - 2) % P + P) % P << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);    
    int T; cin >> T; while (T--)
        sol();
}