agc060 B - Unique XOR Path

题意：

在 $n\times m$ 矩阵中，从左上角走到右下角，每一步只能向下或向右的路径用一个长为 $n+m-2$ 的只含 $D,R$ 两种字母的字符串 $str$ 表示。给定整数 $n, m, k$ 和串 $str$，问能否构造这样一个矩阵，矩阵的每个元素为 $[0,2^k-1]$ 中的整数，且 $str$ 是从左上角走到右下角的唯一一条异或和为 $0$ 的路径

$1\le T\le 100, 2\le n, m \le 30, 1\le k\le 30$

思路：

定义：若一个集合的元素都为 $[1,2^d-1]$ 间的整数，且其任一子集的异或和都不为 $0$，则该集合称为 “d好集”；元素最多的k好集称为 “最大d好集”

发现1.1：最大d好集的子集的异或和取遍 $[1,2^d-1]$

解释：假设最大d好集 $S$ 没有任何子集的异或和为某数 $x$，则 $S\cup x$ 也是d好集，则 $S$ 不是最大d好集

发现1.2：最大d好集 $S$ 的不同子集 $A,B$ 的异或和不同

解释：假设 $A,B$ 的异或和相等，则 $(A-B)\cup (B-A)\in S$ 的异或和为 $0$，则 $S$ 不是最大d好集

发现1.3：最大d好集的大小为 $d$

解释：由发现2.1和发现2.2，并注意到大小为 $d$ 的集合有 $2^d-1$ 个非空子集

发现2：只需考虑题中路径 $str$ 上的数全为 $0$ 的情况

解释：若存在某符合题意的矩阵 $M$，则对于路径 $str$ 上的每个数 $M_{i,j}=v$，令 $M_{i,j}$ 所在对角线（左下-右上对角线）上的每个数异或上 $v$，即 $\forall i'+j'=i+j, M_{i',j'}\leftarrow M_{i',j'}\oplus v$。这样处理以后所有路径的异或和不变，且路径 $str$ 上的每个数全为 $0$

发现4：合法矩阵中不同正数的个数大于等于 “拐角数”

解释：记不相交拐角数为 $d$。考虑一个拐角RD，即下图中的路径 $0\to 0\to 0$

$$00\\x0$$

显然要求 $x\neq 0$，且所有这种 $x$ 必须两两不同。进一步地，$x$ 的取值集合 $S$ 是一个d好集。理想情况下 $S$ 应是一个最大k好集，可取 $S=\{2^0,2^1,\cdots , 2^{k-1}\}$

注意！形如RDR的路径只计一个拐角，因为在下图中

$$00y\\ x00$$

$x$ 可以等于 $y$。因此拐角数为 $s$ 中不相交的LR和RL子串的个数

发现5：存在一种构造方案，不同正数恰有拐角数个

解释：给每个拐角处的 $x$ 位置赋值 $2^0,2^1,\cdots ,2^{k-1}$。若不相交拐角数大于 $k$ 则没有答案。

矩阵被路径 $str$ 分成两侧（即两个连通块）。对每个上述 $x$，把与 $x$ 同侧且在 $x$ 所属左下-右上的对角线上的位置全赋成 $x$

（也可以不仅赋单侧，即把 $x$ 所属对角线上的全部位置赋成 $x$）

两个例子：

$$str=RDRDRD\\ {\color{red}0}{\color{red}0}10\ \\ 1{\color{red}0}{\color{red}0}2\\ 02{\color{red}0}{\color{red}0}\\ 204{\color{red}0}\\ str=RRDRDDRD\\ {\color{red}0}{\color{red}0}{\color{red}0}10\\ 01{\color{red}0}{\color{red}0}0\\ 102{\color{red}0}4\\ 020{\color{red}0}{\color{red}0}\\ 2004{\color{red}0}$$

void sol() {
    int n, m, k; string s;
    cin >> n >> m >> k >> s;
    for(int i = 0; i + 1 < s.length(); i++)
        if(s[i] != s[i + 1]) k--, i++;
    cout << (k < 0 ? "No\n" : "Yes\n");
}