cf1695 D2. Tree Queries (Hard Version)

题意：

给定一棵边权为1的树，树中有一个特殊节点但不告诉你是哪个。你可以询问一个节点集 $S$，然后知道特殊点到 $S$ 中每个点的距离。输出能确定特殊点的 $|S|$ 的最小值

$n\le 2e5$

思路：

题目转化为：对任意点 $u$，怎样区分特殊点与 $u$？

再转化为：要能区分任意两点。即对任意两点 $u\neq v$，存在点 $x\in S$，$dis_{x,u}\neq dis_{x,v}$

若 $u$ 到 $v$ 的距离为奇数，那只要整棵树中至少有一个询问点就能区分 $u,v$ 了

若 $u$ 到 $v$ 的距离为偶数，设 $u$ 到 $v$ 的链形如 $u-\dots -x-mid-y-\dots v$，其中 $mid$ 是中点（即 $dis_{mid,u}=dis_{mid,v}$）

为方便叙述，暂时把 $mid$ 看成根——那么 $x$子树或 $y$子树中至少要有一个询问点

最终结论：对任一节点 $u$，设 $u$ 的邻点们为 $v_i$，则最多只有一棵 $v_i$子树可以没有询问点

怎么实现呢？设当 $u$ 不为根时，$ans[u]$ 表示 $u$子树之外已经有询问点的情况下，$u$子树中至少要选几个点。dfs 时统计 $u$ 有几个 “子树中没有询问点的儿子”，最多允许一个儿子的子树中没有询问点

怎么保证 “$u$子树之外已经有询问点”？

若整棵树的根节点的度大于等于3，这肯定满足；

而若根节点的度为2，有可能 $u$子树之外没有询问点。所以我们可以选一个度数大于等于3的点开始 dfs 以避免这种情况；

如果找不到度数大于等于3的点说明整棵树是一条链，答案是1；另外还要特判整棵树只有一个点的情况

int n, d[N]; vector<int> G[N];

int dfs(int u, int fa) {
    int ans = 0, cnt = 0; //子树中没有点的儿子的数量
    for(int v : G[u]) if(v != fa) {
        int t = dfs(v, u);
        if(t) ans += t; else cnt++;
    }
    return ans + max(0, cnt - 1);
}

int sol() {
    int n; cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear(), d[i] = 0;
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        G[x].pb(y), G[y].pb(x);
        d[x]++, d[y]++;
    }

    if(n == 1) return 0; //只有一个点

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(d[i] >= 3) return dfs(i, 0);
    
    return 1; //链
}