uva12716 GCD XOR（数论、xor、枚举）

题意：

多组测试，每次输入 $n$，问有多少对整数 $(a,b)$ 满足 $1\le a\le b \le n$ 且 $\gcd (a,b) = a\oplus b$

$T\le 1e4, n\le 3e7$

思路：

设 $g=\gcd (a,b)$ ，则根据题目条件必有 $a-b=g$

证明：

首先要知道一个性质：$a-b\le a\oplus b(=g)$

设 $a=k_1g, b=k_2g$。当 $k_1=k_2$ 时题目条件不可能成立，故不用考虑。当 $k_1>k_2$ 时，$a-b\ge g$

综上，$a-b=g$

接下来枚举 $g$ 和 $a=kg(k\ge 2)$ ，判断 $b$ 是否合法。怎么判断呢？因为 $b=(k-1)g$，所以 $\gcd(a,b)=g$ 一定满足，故只需判断是否有 $g=a\oplus b$

预处理答案，每次询问直接输出。

const signed N = 3e7 + 3;
int ans[N];

signed main() {
    iofast;

    for(int g = 1; g <= N/2; g++)
        for(int a = g + g; a < N; a += g) {
            int b = a - g;
            if((a ^ b) == g) ans[a]++; //注意括号
        }
    for(int i = 1; i < N; i++) ans[i] += ans[i-1];

    int q; cin >> q;
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int n; cin >> n;
        cout << "Case " << i << ": " << ans[n] << endl;
    }
}