红黑树的旋转步骤解析
一、概念
红黑树（R-B Tree），全称Red-Block Tree。它是一种特殊的二叉树，树中的每个节点都有颜色，红色或者黑色。
注意：NULL节点是黑色节点。
学习时可以先按照既定的规则进行调整，学会后，再去思考为什么有这些情况，然后再考虑为什么这种情况需要这么处理。
二、性质
-
性质1：节点是红色或黑色。
-
性质2：根节点是黑色。
-
性质3：每个 NULL 节点是黑色。
-
性质4：每个红色节点的两个孩子节点一定是黑色。
-
性质5：从任意节点到其 NULL 节点的所有路径中都包含相同数目的黑色节点。
三、预备知识-旋转
当红黑树的结构发生改变时（添加/删除元素），红黑树的性质可能会被破坏，需要通过调整使树重新成为红黑树，调整可以分为两类：
-
颜色调整: 改变节点的颜色
-
结构调整: 左旋 + 右旋
1）、左旋
左旋要确定对谁（旋转节点）进行左旋。简单说：左旋就是把旋转节点变为其右孩子的左节点（右孩子变为旋转节点的父节点）。
左旋步骤：
-
将旋转节点的右节点的左节点指向旋转节点的右节点上（双向关联）。
-
将旋转节点的右节点的父节点指向旋转节点的父节点（双向关联）。
-
将旋转节点的父节点指向旋转节点的右节点（双向关联）。
左旋示例图：假设旋转节点为节点20，对旋转节点进行左旋。
参考TreeMap的左旋代码：
/** From CLR */ private void rotateLeft(Entry<K,V> p) { if (p != null) { // 获取p的右节点r, 临时存储 Entry<K,V> r = p.right; // 将旋转节点的右节点的左节点指向旋转节点的右节点上(双向关联). // 将p的右节点的左节点连接到p的右节点上 p.right = r.left; // 将p的右节点的左节点的父节点指向为p if (r.left != null) r.left.parent = p; // 将旋转节点的右节点的父节点指向旋转节点的父节点(双向关联). // 将p的父节点赋值给r, r的父节点指向为p的父节点 r.parent = p.parent; if (p.parent == null) // 父节点为空, 根节点即为 r root = r; else if (p.parent.left == p) // p是父节点的左节点 p.parent.left = r; else // p是父节点的右节点 p.parent.right = r; // 将旋转节点的父节点指向旋转节点的右节点(双向关联). r.left = p; p.parent = r; } }
2）、右旋
右旋要确定对谁（旋转节点）进行右旋。简单说：右旋就是把旋转节点变为其左孩子的右节点（左孩子变为旋转节点的父节点）。
右旋步骤：
-
将旋转节点的左节点的右节点指向旋转节点的左节点上（双向关联）。
-
将旋转节点的左节点的父节点指向旋转节点的父节点（双向关联）。
-
将旋转节点的父节点指向旋转节点的左节点（双向关联）。
右旋示例图：假设旋转节点为节点30，对旋转节点进行右旋。
参考TreeMap的右旋代码：
/** From CLR */ private void rotateRight(Entry<K,V> p) { if (p != null) { // 临时存储p的左节点 Entry<K,V> l = p.left; // 将旋转节点的左节点的右节点指向旋转节点的左节点上(双向关联). p.left = l.right; if (l.right != null) l.right.parent = p; // 将旋转节点的左节点的父节点指向旋转节点的父节点(双向关联). l.parent = p.parent; if (p.parent == null) root = l; else if (p.parent.right == p) p.parent.right = l; else p.parent.left = l; // 将旋转节点的父节点指向旋转节点的左节点(双向关联). l.right = p; p.parent = l; } }
四、寻找节点的后继
当节点元素被删除时，如果待删除节点有两个孩子，则不能删除该节点，应该寻找到待删除节点的前驱或后继节点，然后使用前驱或后继节点中值覆盖待删除节点的值，最后把前驱或后继节点删除。
实际上节点的后继节点就是红黑树按照中序遍历结果，节点元素的后一个元素，前驱节点同理。理解了二叉树的中序遍历，这里边很容易理解了。
参考TreeMap的寻找后继代码：
/** * Returns the successor of the specified Entry, or null if no such. */ static <K,V> TreeMap.Entry<K,V> successor(Entry<K,V> t) { if (t == null) // null is null return null; else if (t.right != null) { // 右节点非空 // 循环寻找右节点的左节点的左节点..., 直到左节点的左节点为null, 返回. Entry<K,V> p = t.right; while (p.left != null) p = p.left; return p; } else { // 右节点为null // t是父节点的右节点: 一直获取父节点, 直到获取到根节点, 返回 // t是父节点的左节点: 后继节点就是父节点, 返回 Entry<K,V> p = t.parent; Entry<K,V> ch = t; while (p != null && ch == p.right) { ch = p; p = p.parent; } return p; } }
当然 TreeMap 中还有寻找节点的前驱的方法：Entry<K,V> predecessor(Entry<K,V> t)。
五、插入调整
红黑树的插入操作如同二叉排序树的插入操作一样，不同的是在新元素插入之后，需要对树进行调整使其重新成为一颗红黑树，这里就研究如何进行调整。
为什么需要调整？
新插入的元素一定是叶节点，那么父节点为黑色就不需要进行处理，因为新插入的元素默认染为红色，如果父节点是红色，就违反了性质4，此时需要进行调整。
插入新元素时会出现的情况
-
情况1: 红黑树是空树。
-
情况2: 父节点为黑色。
-
情况3: 父节点为红色 且 叔叔节点为红色。
-
情况4: 父节点为红色 且 叔叔节点为黑色。
1）、情况1：红黑树是空树
处理步骤:
-
将新节点染为红色。
-
将新节点染为黑色。
调整完成。
示例图：
2）、情况2：父节点为黑色
父节点是黑色，添加一个红色孩子节点并不会影响红黑树的性质，不需要调整。
示例图：在只有根节点(20)的红黑树中插入一个新节点(10)
大家可以尝试一下在复杂的树中插入, 也不会影响红黑树的性质的.
3）、情况3：父节点为红色 且 叔叔节点为红色
处理步骤：
-
将父节点和叔叔节点染为黑色。
-
将祖父节点染为红色。
按照上述步骤调整之后，祖父节点的颜色由黑色变为红色，这时需要对祖父节点进行调整。
示例图：在现有的红黑树中插入新节点(35)。
图中祖父节点即为根节点，直接染为黑色即可，如果祖父节点非根节点，此时需要将当前节点指向祖父节点，对祖父节点进行进一步的调整。
4）、情况4：父节点为红色 且 叔叔节点为黑色
父节点是祖父节点的左节点的处理步骤：
- 将新节点调整为父节点的左孩子节点（如果是父节点的右孩子的话）。
- 将父节点作为新节点。
- 对新节点进行左旋。
- 将父节点染为黑色。
- 将祖父节点染为红色。
- 对祖父节点进行右旋。
父节点是祖父节点的右节点的处理步骤：
- 将新节点调整为父节点的右孩子节点（如果是父节点的左孩子的话）。
- 将父节点作为新节点。
- 将父节点作为新节点。
- 对新节点进行右旋。
- 将父节点染为黑色。
- 将祖父节点染为红色。
- 对祖父节点进行左旋。
发现，节点的调整只在以祖父节点为根的树中进行调整，调整前后祖父节点的颜色不变，只要把以祖父节点为根的树调整为红黑树即可。但是要保证调整前与调整后，从祖父节点从叶节点的路径要包含相同数目的黑节点。
所以，经过该步骤调整之后，树一定为红黑树。
示例图：在现有的红黑树中插入新节点(45)。
5）、插入调整总结
插入调整总体看起来比较简单，闭眼冥想一下各种情况，然后接下来看代码。
参考TreeMap的插入调整代码：
/** From CLR */ private void fixAfterInsertion(Entry<K,V> x) { // 默认新节点的颜色为红色, 默认红色处理起来比较简单, WHY? x.color = RED; // 父节点为红色时, 增加一个新节点, 会违反性质4 while (x != null && x != root && x.parent.color == RED) { if (parentOf(x) == leftOf(parentOf(parentOf(x)))) { // 父节点为祖父节点的左节点 // 获取叔叔节点 Entry<K,V> y = rightOf(parentOf(parentOf(x))); if (colorOf(y) == RED) { // 叔叔节点为红色时 // 父节点和兄弟节点染为黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(y, BLACK); // 祖父节点染为红色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 当前节点指向为祖父节点 // 如果此时x=root了, 那么方法的最后一行代码便很有必要了. x = parentOf(parentOf(x)); } else { // 叔叔节点为黑色时 // 将新节点调整为父节点的左孩子节点 if (x == rightOf(parentOf(x))) { x = parentOf(x); rotateLeft(x); } // 父节点染为黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); // 祖父节点染为红色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 对祖父节点进行右旋 rotateRight(parentOf(parentOf(x))); // 此时, x的父节点已经被染为黑色了, 退出while循环 } } else { // 与上面对应 Entry<K,V> y = leftOf(parentOf(parentOf(x))); if (colorOf(y) == RED) { setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(y, BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); x = parentOf(parentOf(x)); } else { if (x == leftOf(parentOf(x))) { x = parentOf(x); rotateRight(x); } setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); rotateLeft(parentOf(parentOf(x))); } } } // 最后将根节点染为黑色 root.color = BLACK; }
六、删除调整
删除，对于红黑树来说是最复杂的，也比较难理解，分情况进行分析就简单了。
删除节点时会出现的情况：
-
情况1: 节点既有左子树又有右子树。
-
情况2: 节点只有左子树或只有右子树。
-
情况3: 节点既没有左子树又没有右子树（节点是叶节点）。
对于情况1，我们首先要找到该节点的前驱或后继节点，使用前驱或后继节点的值覆盖待删除节点的值，然后将前驱或后继节点按照情况2或情况3进行删除即可，此时前驱或者后继节点顶多有一个子节点。本文中使用后继。
所以，对于红黑树来说，实际删除节点的情况只有两种（情况2和情况3），但是这两种情况又分为多种情况，下面一一列举。
下文中，待删除节点用节点D（Delete）表示。
1)、情况2出现的情况
-
情况2-1：节点D是红色 且 其右节点(R)是黑色 -- 不存在
-
情况2-2：节点D是红色 且 其右节点(R)是红色 -- 不存在
-
情况2-3：节点D是红色 且 其左节点(L)是黑色 -- 不存在
-
情况2-4：节点D是红色 且 其左节点(L)是红色 -- 不存在
-
情况2-5：节点D是黑色 且 其右节点(R)是黑色 -- 不存在
-
情况2-6：节点D是黑色 且 其右节点(R)是红色
-
情况2-7：节点D是黑色 且 其左节点(L)是黑色 -- 不存在
-
情况2-8：节点D是黑色 且 其左节点(L)是红色
分析情况2，只会存在 情况2-6 和 情况2-8 的删除，其它情况并不符合红黑树的特性，所以根本不会存在其它情况的删除，再看 情况2-6 和 情况2-8，由于 节点D 顶多有一个孩子，所以两种情况的处理方式是一样的。
a）、情况2-6: 节点D是黑色 且 其右节点(R)是红色
处理步骤：
-
将其右节点链接到其父节点上。
-
将其右节点染为黑色即可。
等同于删除了一个红色节点，并不影响红黑树的性质。
示例图：在现有的红黑树中删除节点30。
此时，只需把节点删除，然后把其后继节点染为黑色即可。
b）、情况2-8: 节点D是黑色 且 其左节点(L)是红色
处理步骤：
-
将其左节点链接到其父节点上。
-
将其左节点染为黑色即可。
等同于删除了一个红色节点，并不影响红黑树的性质。
示例图：如同 情况2-6 的示例图，只不过孩子节点在左边而已。
2）、情况3出现的情况
-
情况3-1: 节点D是红色。
-
情况3-2: 节点D是黑色 且 兄弟节点是红色。
-
情况3-3: 节点D是黑色 且 兄弟节点是黑色 且 兄弟节点有孩子节点。
-
情况3-3: 节点D是黑色 且 兄弟节点是黑色 且 兄弟节点无孩子节点。
a）、情况3-1: 节点D是红色
此时父节点一定为黑色，如果有兄弟节点，兄弟节点一定为红色。
示例图：在现有的红黑树中删除节点35。
删除一个红色节点并不会影响红黑树的性质，无须调整。
b）、情况3-2: 节点D是黑色 且 兄弟节点是红色
此时，兄弟节点一定有两个黑色子节点，因为节点D是叶节点。
节点D是父节点的左节点的处理步骤：
-
父节点染为红色
-
兄弟节点染为黑色
-
对父节点进行左旋
-
重新计算兄弟节点
节点D是父节点的右节点的处理步骤：
-
父节点染为红色
-
兄弟节点染为黑色
-
对父节点进行右旋
-
重新计算兄弟节点
示例图：在现有的红黑树中删除节点10。
经过该步骤之后，树还不是红黑树，需要进一步调整。
c）、情况3-3: 节点D是黑色 且 兄弟节点是黑色 且 兄弟节点的子节点至少一个为红色
兄弟节点的子节点包括 孩子节点 和 NULL节点，因为它们都是黑色。
节点D是父节点的左节点的处理步骤：
- 将兄弟节点的红色子节点调整为兄弟节点的右节点(如果兄弟节点的右节点是黑色)
- 将兄弟节点的左节点染为黑色
- 将兄弟节点染为红色
- 对兄弟节点进行右旋
- 重新计算兄弟节点
- 将兄弟节点的颜色染为父节点的颜色
- 将父节点染为黑色
- 将兄弟节点的右节点染为黑色
- 对父节点进行左旋
节点D是父节点的右节点的处理步骤:
- 将兄弟节点的红色子节点调整为兄弟节点的左节点(如果兄弟节点的左节点是黑色)
- 将兄弟节点的右节点染为黑色
- 将兄弟节点染为红色
- 对兄弟节点进行左旋
- 重新计算兄弟节点
- 将兄弟节点的颜色染为父节点的颜色
- 将父节点染为黑色
- 将兄弟节点的右节点染为黑色
- 对父节点进行右旋
如果兄弟节点有两个红色子节点，直接从第2步开始调整，如果兄弟节点有一个红色子节点，需要先将红色子节点调整为与兄弟节点方向一致的位置。
发现，节点的调整只在以父节点为根的树中进行调整，调整前后父节点的颜色不变，只要把以父节点为根的树调整为红黑树即可。但是要保证调整前与调整后，从父节点从叶节点的路径要包含相同数目的黑节点。
所以，经过该步骤调整之后，树一定为红黑树。
示例图：在现有的红黑树中删除节点25。
调整完之后便是红黑树。
d）、情况3-4: 节点D是黑色 且 兄弟节点是黑色 且 兄弟节点的子节点都为黑色
兄弟节点的子节点包括 孩子节点 和 NULL节点，因为它们都是黑色。
处理步骤：
-
将兄弟节点染为红色
-
将待调整的节点指向父节点
这种情况删除节点D之后，如果父节点是红色，直接把父节点染为黑色，兄弟节点染为红色即可。如果父节点是黑色，删除后经过父节点的路径少了一个黑节点，需要对父节点进行调整。
示例图：在现有的红黑树中删除节点10。
图中的情况是父节点是红色的情况，如果父节点是黑色呢?
注：D表示待删除节点；X表示当前节点。
图中也只是演示了一种情况，可以会出现其它情况，但是任何情况也会坐落于删除的这几种情况之中。
3）、删除调整总结
删除时，先看待删除节点的颜色，再看其兄弟节点的颜色，最后看兄弟节点是否有子节点，根据具体的情况进行调整。
参考TreeMap的删除调整代码
/** From CLR */ private void fixAfterDeletion(Entry<K,V> x) { // 删除的节点为黑色时, 需要进行调整 while (x != root && colorOf(x) == BLACK) { // 当前节点是左节点 if (x == leftOf(parentOf(x))) { // 获取右节点(兄弟节点) Entry<K,V> sib = rightOf(parentOf(x)); // 兄弟节点是红色时 if (colorOf(sib) == RED) { // 兄弟节点染为黑色 setColor(sib, BLACK); // 父节点染为红色 setColor(parentOf(x), RED); // 对父节点进行左旋 rotateLeft(parentOf(x)); // 重新计算兄弟节点 sib = rightOf(parentOf(x)); } if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK && colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) { // 兄弟节点的两个子节点都是黑色, 其实是NULL节点 // 兄弟节点染为红色 setColor(sib, RED); // 将当前节点指向父节点 x = parentOf(x); } else { // 兄弟节点的有子节点 // 将兄弟节点的红色子节点调整为兄弟节点的右节点 if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) { setColor(leftOf(sib), BLACK); setColor(sib, RED); rotateRight(sib); sib = rightOf(parentOf(x)); } // 将兄弟节点的颜色染为父节点的颜色 setColor(sib, colorOf(parentOf(x))); // 父节点染为黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); // 兄弟节点的右孩子染为黑色 setColor(rightOf(sib), BLACK); // 对父节点进行左旋 rotateLeft(parentOf(x)); // 调整完成, 退出循环 x = root; } } else { // symmetric Entry<K,V> sib = leftOf(parentOf(x)); if (colorOf(sib) == RED) { setColor(sib, BLACK); setColor(parentOf(x), RED); rotateRight(parentOf(x)); sib = leftOf(parentOf(x)); } if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK && colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) { setColor(sib, RED); x = parentOf(x); } else { if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) { setColor(rightOf(sib), BLACK); setColor(sib, RED); rotateLeft(sib); sib = leftOf(parentOf(x)); } setColor(sib, colorOf(parentOf(x))); setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(leftOf(sib), BLACK); rotateRight(parentOf(x)); x = root; } } } // 将x染为黑色 setColor(x, BLACK); }
七、总结
红黑树的核心在于元素变动之后，如何进行调整使其重新成为一颗红黑树。
通过学习红黑树，深刻体会到大问题并不可怕，一点点拆分为小问题，一定会解决的。
红黑树还是要了解的，即使过段时间就忘掉了（囧）。
座右铭：不要因为知识简单就忽略，不积跬步无以至千里。
版权声明：自由转载-非商用-非衍生-保持署名。
本作品采用知识共享署名 4.0 国际许可协议进行许可。
----------------------------------------------------------------------
