数学复习（1）

傅里叶为什么选择了正弦波，而不选择方波或其他波形？

正弦波有其他波形所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位，即正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分（非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，成为谐波）。

线性系统是自动控制研究的主要对象，线性系统具备一个特点，多个正弦波叠加后输入至一个线性系统，其输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。

用单位幅值的不同频率的正弦波输入至线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。

 

傅里叶最初论断：

任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

 

无限数量的正弦曲线组合可以无限逼近有棱角的信号（如方波）。

 

傅里叶论断扩展：

满足一定条件的函数可以表示成三角函数（正余弦）或者它们的积分的线性组合。

电参量测量中遇到的周期信号都满足“一定条件”。

 

在电学中的傅里叶变换：

任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。

并且这些正弦波的频率有一个规律：是某个频率的整数倍。这个频率就称为“基波频率”，其他频率称为“谐波频率”，如果谐波的频率是基波频率的N倍，就称为“N次谐波”。

直流分量频率为0，是基波频率的零倍，也可称为“零次谐波”。

 

 

 

正弦函数 正交性：

任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。

 

 

 

相同频率的正弦波，

当相位差为90º时（正交），在一个周期内二者乘积的积分值等于零；

当相位相同时，积分值最大，等于两者有效值的乘积；

当相位相反时，积分值最小，等于二者有效值的乘积取反。