2-SAT

      在实际问题中2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式：有2N个物品，每2个分为一组，现在要选出N种物品，同组物品不能同时选取，问你在满足题目要求的情况下能不能按规则选出物品，如果可以，那么可能的方案是什么。

      在本质中是这样的：对于一个合取范式，是否有一种输入使得他的输出是1，具体点就是类似这样的布尔表达式（x1 or x2 or x3）and(x3 or x4)and(not x1 or x5)对于所有的x是否有一种01取值，使得最后的结果是1。

【建模】

     建立一个2N阶的有向图，其中的点分为N对，每对点表示布尔序列A的一个元素的0、1取值（以下将代表A[i]的0取值的点称为i，代表A[i]的1取值 的点称为i'）。图中的边具有特定含义。若图中存在边<i, j>，则表示若选了i必须选j。

【O(NM)算法：求字典序最小的解】

（1）给每个点设置一个状态V，V=0表示未确定，V=1表示确定选取，V=2表示确定不选取。称一个点是已确定的当且仅当其V值非0。设立两个队列Q1和Q2，分别存放本次尝试选取的点的编号和尝试不选的点的编号。
（2）若图中所有的点均已确定，则找到一组解，结束，否则，将Q1、Q2清空，并任选一个未确定的点i，将i加入队列Q1，将i'加入队列Q2；
（3）找到i的所有后继。对于后继j，若j未确定，则将j加入队列Q1；若j'（这里的j'是指与j在同一对的另一个点）未确定，则将j'加入队列Q2；
（4）遍历Q2中的每个点，找到该点的所有前趋（这里需要先建一个补图），若该前趋未确定，则将其加入队列Q2；
（5）在（3）（4）步操作中，出现以下情况之一，则本次尝试失败，否则本次尝试成功：
<1>某个已被加入队列Q1的点被加入队列Q2；
<2>某个已被加入队列Q2的点被加入队列Q1;
<3>某个j的状态为2；
<4>某个i'或j'的状态为1或某个i'或j'的前趋的状态为1；
（6）若本次尝试成功，则将Q1中的所有点的状态改为1，将Q2中所有点的状态改为2，转（2），否则尝试点i'，若仍失败则问题无解。
该算法的时间复杂度为O(NM)（最坏情况下要尝试所有的点，每次尝试要遍历所有的边），但是在多数情况下，远远达不到这个上界。
具 体实现时，可以用一个数组vst来表示队列Q1和Q2。设立两个标志变量i1和i2（要求对于不同的i，i1和i2均不同，这样可以避免每次尝试都要初始 化一次，节省时间），若vst[i]=i1则表示i已被加入Q1，若vst[i]=i2则表示i已被加入Q2。不过Q1和Q2仍然是要设立的，因为遍历 （BFS）的时候需要队列，为了防止重复遍历，加入Q1（或Q2）中的点的vst值必然不等于i1（或i2）。中间一旦发生矛盾，立即中止尝试，宣告失败。

     如果原图中的同一组点编号都是连续的（01、23、45……）则可以依次尝试第0对、第1对……点，每对点中先尝试编号小的，若失败再尝试编号大的。这样一定能求出字典序最小的解（如果有解的话），因为一个点一旦被确定，则不可更改。

      如果原图中的同一对点编号不连续（比如03、25、14……）则按照该对点中编号小的点的编号递增顺序将每对点排序，然后依次扫描排序后的每对点，先尝试其编号小的点，若成功则将这个点选上，否则尝试编号大的点，若成功则选上，否则（都失败）无解。

    题目例如HDU1814

【O(M)算法】

     可以将图中所有的强连通分支全部缩成一个点（因为强连通分支中的点要么都选，要么都不选），然后按照拓扑逆序（每次找出度为0的点，具体实现时，在建分支邻接图时将所有边取反）遍历分支邻接图，将这个点（表示的连通分支）选上，并将其所有对立点（注意，连通分支的对立连通分支可能有多个，若对于两个连通分支S1和S2，点i在S1中，点i'在S2中，则S1和S2对立）及这些对立点的前趋全部标记为不选，直到所有点均标记为止。这一过程中必然不会出现矛盾 ，详细证明过程省略，详细的可以看伍昱的《由对称性解2-SAT问题》和赵爽的《2-SAT解法浅析》两篇。看证明的时候注意对称性，就是说如果x，y在同一个连通分支，那 么~x，~y也在同一个连通分支，如果x到y有路，那么~y到~x也有路，注意这个对称性的特点的话，那两篇文章里的证明也就不难看懂了。。
无解判定：若求出所有强分支后，存在点i和i'处于同一个分支，则无解，否则必定有解。
时间复杂度：求强分支时间复杂度为O(M)，拓扑排序的时间复杂度O(M)，总时间复杂度为O(M)。

该算法的时间复杂度低，但是只能求出任意一组解，不能保证求出解的字典序最小。

【其它】

      解决问题时要注意挖掘限制条件，用于建模。     

      例如两个数的逻辑运算：

1、A AND B=0.这要求A和B不同时为1。既然不同时为1，那么A取1时，B必须取0；B取1时，A必须取0.所以，要连得边便是A+n->B, B+n->A。

2、A AND B=1.这要求A和B同时为1。换句话说，A和B不能是0.那要怎么样体现在图中呢？我们知道，判断一个2-sat问题是否存在合法方案的方法是，缩点后判断有没有两个同组点属于同一个连通分量。我们需要A和B都必须是1，那么我们就让A和B必须选0时无解即可。也就是说，连边A->A+n, B->B+n。这样的话，假如构图完成后，A必须取0，那么由于存在边A->A+n，所以A也必须取1，那么就不可能是一个合法方案（导出矛盾）。所以，这两条边能保证，有合法方案的话，一定是A取1（选A+n节点）的情况。

3、A OR B=0.这要求A和B同时为0.方法和2类似，方向变一下而已，理由同上。

4、A XOR B=0.这要求A=B。所以，A为0时，B必须为0，同理B为0时，A必须为0.所以添加边：A->B,B->A,A+n->B+n,B+n->A+n。