左偏树

　　我们最常用的二叉堆，是最常用的优先队列，它可以在O(logN)内实现插入和删除最小值操作。但是对于合并两个有序的优先队列，二叉堆就显得力不从心了。

　　左偏树是一种可并堆(Mergeable Heap)， 意思是可以在O(logN)时间内完成两个堆的合并操作。左偏树(Leftist Tree)，或者叫左倾树，左式树，左式堆(Leftist Heap)，左堆。顾名思义，它好象是向左偏的，实际上它是一种趋于非常不平衡的二叉树结构，但却能够实现对数级的合并时间复杂度。

【左偏树的定义】
　　左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆的实现。左偏树是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针( left, right)外，还有两个属性：键值和距离(dist)。键值上面已经说过，是用于比较节点的大小。距离则是如下定义的：
　　节点i称为外节点(externalnode)，当且仅当节点i的左子树或右子树为空( left(i) = NULL或right(i) = NULL )；节点i的距离(dist(i))是节点i到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点i本身是外节点，则它的距离为0；而空节点的距离 规定为-1 (dist(NULL) =-1)。在本文中，有时也提到一棵左偏树的距离，这指的是该树根节点的距离。
【基本性质】
　　[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。这条性质又叫堆性质。符合该性质的树是堆有序的(Heap-Ordered)。有了这条，我们可以知道左偏树的根节点是整棵树的最小节点。
　　[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。即dist(left(i))≥dist(right(i))  这条性质称为左偏性质。
　　[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。因为节点距离的定义是离外节点最少的路径长度，而右节点的距离小，肯定是最优的。
 
  　 左偏树并不是为了快速访问所有的节点而设计的，它的目的是快速访问最小节点以及在对树 修改后快速的恢复堆性质。
　　从性质中我们可以看到它并不平衡，由于性质2的缘故，它的结构偏向左侧，不过距离的概念和树的深度并不同，左偏树并不意味着左子树 的节点数或是深度一定大于右子树。
 
 　　[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
　　 [定理1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有2^(k+1)-1个节点。
 
　　[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为[log2(N+1)]-1。设一棵N个节点的左偏树距离为k，由定理1可知，N ≥ 2^(k+1)-1，因此k ≤ [log2(N+1)]-1。
标程
 
【合并算法】
 
 


　　　
        合并算法用递归的方式更好写出。伪代码：
　 
 1 Function Merge(A, B)
 2     If A = NULL Then return B
 3     If B = NULL Then return A
 4     If key(B) < key(A) Then swap(A, B)
 5     right(A) ← Merge(right(A), B)
 6     If dist(right(A)) > dist(left(A)) Then
 7         swap(left(A), right(A))
 8     If right(A) = NULL Then dist(A) ← 0
 9     Else dist(A) ← dist(right(A)) + 1
10     return A
11 End Function

 

 
　　　合并操作是最重要基本操作。插入操作可以看作是这个左偏树的root和一个单节点树的合并。删除操作可以看作是把root节点取出来，然后合并root的左右子树。
　　　可以证明，一次合并的时间复杂度为O(log2(树A.size) + log2(树B.size))。

[左偏树的构建]

可以用一个队列，使左偏树的构建为O(N)。具体方法为

    1. 把所有元素作为一个单独左偏树节点放入队列；
    2. 不断取出两个队首的左偏树，合并这两个左偏树，然后放入队尾；
当队列中只剩下一个左偏树，算法结束。可以证明，时间复杂度为O(N)。
 

[对左偏树的比较]

左偏树可以实现二叉堆的一切功能，而且还能实现二叉堆不易实现的合并，个人认为实际编程中左偏树更有理性，不容易错。但左偏树的算法时间常数要大于二叉堆，所以不能完全代替之。

和平衡树相比，左偏树采取了与平衡树完全相反的构造策略。平衡树为了实现所有元素的快速查找，使节点尽量趋于平衡。而左偏树的目的是实现快速的查询最小值与合并操作，恰恰要让节点尽量向左偏。最优的平衡树，恰恰是最差的左偏树，而最优的左偏树，恰恰是平衡树退化的结果。

斜堆、二项堆、斐波那契堆也是可并堆实现的有效方法，而且二项堆、斐波那契堆实际中会比左偏树更快，但是在时间与编程复杂度的性价比上，左偏树有着绝对的优势。

 

PS：附上我用二叉链表的递归实现

 1 struct node
 2 {
 3     int n,dist;
 4     node *left,*right;
 5 };
 6 inline void myswap(node *&a,node *&b){node *t=a;a=b;b=t;}
 7 inline int getdist(node *a) 
 8 {
 9     if (a==NULL) return -1; //这个情况是要特殊定义值的
10     return a->dist;
11 }
12 node *merge(node *a,node *b)
13 {
14     if (a==NULL) return b;
15     if (b==NULL) return a;
16     if (b->n<a->n) myswap(a,b);
17     a->right=merge(a->right,b);
18     if (getdist(a->right)>getdist(a->left))  myswap(a->left,a->right);
19     a->dist=getdist(a->right)+1;     
20     return a;
21 }
posted @ 2013-03-15 11:08  wuminye  阅读(805)  评论(0)  编辑  收藏  举报