关于快速幂

快速幂是个快速计算幂次的算法，原理很简单：

 a^b=a*a*a*a*a*......*a (b个a 相乘) 如果直接计算要做 b-1 次乘法。

可以利用幂运算的性质: a^b=(a^c)*(a^d)=a^(c+d)  其中b=c+d

如果把b平均分为两份，每份的数量为c=d=b/2, a^c和a^d的值一样，就可以重复利用。

这样分一次就只要做 b/2-1+1=b/2次的乘法，若b为奇数，则要做b/2+1次乘法，于是乘法的次数就大大减少，

这样重复分几次后，原式的值就能很快地算出来。

用递归的代码:

int QuickPow(int a,int b)
{
     if (b==1) return a;
     if (b&1) return QuickPow(a,b-1)*a;   //b为奇数
     return QuickPow(a,b/2);
}

非递归：

int QucikPow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
         if (b&1) ans=ans*a;
         b=b>>1;
         a=a*a;
     }
    return ans;
}

注意事项：

     1.用递归的方法会好理解点，但如果b很大的话递归会爆栈。

    2. 函数返回值可能会溢出，如题目要求可利用模运算规则：(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

    3. 就算取模了，算法中有乘法操作的地方也还可能会溢出，这就要用快速幂的变式：

           快速加法： a*b=a*(b/2)+a*(b/2)

                          (a+b)%m=(a%m+b%m)%m

           这样就不会溢出了。（还是在tyvj p2043 发现的,下面附上AC代码）

 

#include <stdio.h>
unsigned long long p,m,n;
unsigned long long ans=1;
inline unsigned long long quickadd(unsigned long long a,unsigned long long m)
{
   unsigned long long ans=0;
   while (a)
   {
       if (a&1) ans=(ans+m)%p;
       a=a>>1;
       m=(m*2)%p;
   }
   return ans;
}
void quick(unsigned long long n)
{
  while (n)
  {
      if (n&1) ans=(quickadd(ans,m))%p;
      n=n>>1;
      m=(quickadd(m,m))%p;
  }
}

int main()
{
  scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
  ans=m%p;
  m=m-1;
  m=m%p;
  quick(n-1);
  printf("%I64d\n",ans);
}