特征值和特征向量

1. 特征值和特征向量的定义

设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在一个数\(\lambda\)和非0向量\(x\)，使得
\(Ax=\lambda x\)
那么我们就说向量\(x\)是方阵\(A\)的特征向量，\(\lambda\)是特征向量\(x\)对应的特征值。

2. 特征子空间

由\(Ax=\lambda x\)，可以得到
\(Ax-\lambda x=0\)
\((A-\lambda E)x=0 （1）\)
又\(x\)不等于0，即齐次线性方程组（1）有非0解，(性质：齐次线性方程组有非0解，则其对应的系数矩阵的行列式为0)因此有
\(|A-\lambda E|=0 （2）\)
方程组（2）对应的解空间称为对应于\(\lambda\)的特征子空间。

3. 特征多项式

为了方便理解，举例说明如下：
设有方阵\(A\)
\(A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ a_4& a_5& a_6\\ a_7 & a_8 & a_9 \end{bmatrix}\)
则\(|A-\lambda E|\)称为A的特征多项式，其中\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值,
\(|A=\lambda E|=\begin{vmatrix} a_1-\lambda & a_2 & a_3\\ a_4& a_5-\lambda& a_6\\ a_7 & a_8 & a_9-\lambda \end{vmatrix}\)
Reference:
(1)https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html