2019牛客暑期多校训练营（第一场） B Integration（裂项解方程+找规律）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/B
来源：牛客网

题目大意：有$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1^{2}+x^{2}}dx=\frac{\pi }{2}$，给一个序列$a_{1},a_{2},...,a_{n}$，让你求$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}{a_{i}}^{2}+x^{2}}dx$的解mod($10^{9}+7$)。

解法：

　　1. 当n=1时，该方程为$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx$

　　　 有不定积分$\frac{1}{a^{2}+x^{2}}$=$\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

　　　 当$x\rightarrow \infty $时，$\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}=\frac{\pi }{2a}$

　　　 所以n=1时，答案为$\frac{1}{2a}$

 

　　2. 当n=2时，设$a_{1}$为a，$a_{2}$为b。

　　 　该方程为$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{1}{(a^{2}+x^{2})(b^{2}+x^{2})}dx$

　　　 由于不定积分里面的分式乘积的形式，那么可以采用拆项积分法，可将方程表示成$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }(\frac{\alpha }{a^{2}+x^{2}}+\frac{\beta }{b^{2}+x^{2}})dx$

　　　 通分，方程为$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{(\alpha b^{2}+\beta a^{2})+(\alpha+\beta)x^{2}}{(a^{2}+x^{2})(b^{2}+x^{2})}dx$

　　　 得到两个方程两个未知数$\left\{\begin{matrix}
\alpha b^{2}+\beta a^{2}=1\\
\alpha+\beta=0
\end{matrix}\right.$

　　　 解得$\left\{\begin{matrix}
\alpha =\frac{1}{b^{2}-a^{2}}\\
\beta=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}
\end{matrix}\right.$

　　　 原方程可化为$\frac{1}{\pi }[\frac{1}{b^{2}-a^{2}}\int_{0}^{\infty }\frac{1}{(a^{2}+x^{2})}dx+\frac{1}{a^{2}-b^{2}}\int_{0}^{\infty }\frac{1}{(b^{2}+x^{2})}dx]$

　　　 所以n=2时，答案为$\frac{1}{(b^{2}-a^{2})}\frac{1}{2a}+\frac{1}{(a^{2}-b^{2})}\frac{1}{2b}$

 

　　3. 当n=3时，设$a_{1}$为a，$a_{2}$为b，$a_{3}$为c。

　　    同样使用拆项积分法，可将该方程表示成$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }(\frac{\alpha }{a^{2}+x^{2}}+\frac{\beta }{b^{2}+x^{2}}+\frac{\gamma }{c^{2}+x^{2}})dx$

　　　通分后，$\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{(\alpha b^{2}c^{2}+\beta a^{2}c^{2}+\gamma
a^{2}b^{2})+(\alpha b^{2}+\alpha c^{2}+\beta a^{2}+\beta c^{2}+\gamma a^{2}+\gamma b^{2})x^{2}+(\alpha+\beta+\gamma)x^{4}}{(a^{2}+x^{2})(b^{2}+x^{2})(c^{2}+x^{2})}dx$

 　　   可得三个方程，$\left\{\begin{matrix}
\alpha b^{2}c^{2}+\beta a^{2}c^{2}+\gamma
a^{2}b^{2}=1\\\alpha b^{2}+\alpha c^{2}+\beta a^{2}+\beta c^{2}+\gamma a^{2}+\gamma b^{2}=0
\\\alpha+\beta+\gamma=0
\end{matrix}\right.$

　　　 解得$\left\{\begin{matrix}
\alpha=\frac{1}{(b^{2}-a^{2})(c^{2}-a^{2})}\\
\beta=\frac{1}{(a^{2}-b^{2})(c^{2}-b^{2})}\\
\gamma=\frac{1}{(a^{2}-c^{2})(b^{2}-c^{2})}
\end{matrix}\right.$

　　　 所以n=3时，答案为$\frac{1}{(b^{2}-a^{2})(c^{2}-a^{2})}\frac{1}{2a}+\frac{1}{(a^{2}-b^{2})(c^{2}-b^{2})}\frac{1}{2b}+\frac{1}{(a^{2}-c^{2})(b^{2}-c^{2})}\frac{1}{2c}$

　　　 对比n=1，n=2，n=3，可以发现该方程的解为$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2a_{i}}\prod_{j!=i}\frac{1}{a_{j}^{2}-a_{i}^{2}}$

于是我们便可以在O($n^{2}$)的算出结果

AC代码：

 语言：C++ 代码长度：1316 运行时间： 338 ms 占用内存：1376K 

#include<bits/stdc++.h>
#define numm ch-48
#define pd putchar(' ')
#define pn putchar('\n')
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define fre1 freopen("1.txt","r",stdin)
#define fre2 freopen("2.txt","w",stdout)
using namespace std;
template <typename T>
void read(T &res) {
    bool flag=false;char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar())) (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=numm;isdigit(ch=getchar());res=(res<<1)+(res<<3)+numm);
    flag&&(res=-res);
}
template <typename T>
void write(T x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
typedef long long ll;
const int maxn=1e3+10;
const ll mod=1e9+7;
ll a[maxn];
ll quickpow(ll a,ll b,ll mod) {
    ll ans=1;
    while(b) {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m,k;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            read(a[i]);
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            ll temp=1;
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                if(i==j) continue;
                temp=(temp*(a[j]*a[j]%mod-a[i]*a[i]%mod+mod)%mod)%mod;
            }
            temp=temp*2%mod*a[i]%mod;
            sum=(sum+quickpow(temp,mod-2,mod)%mod)%mod;
        }
        write(sum);pn;
    }
    return 0;
}