康托展开学习模板
定义：
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
康托展开的用法：
有一个以元素{1,2,...,n}为排列元素的全排列：
1. 给定一个全排列序列，求该序列是所有全排列序列中字典序第几的序列
2. （逆康托展开）给定全排列大小n,字典序k,求字典序为k的排列
公式及原理：
V = A[0]*(n-1)! + A[1]*(n-2) +...+ A[n-1]*0!
* A[i]对应的是位于位置i后的数的个数，乘(n-i-1)的阶乘
V的值对应上述康托展开的用法中序列的康托展开值，也就是字典序排名
听不懂在说什么？没事，让我们看看下面的例子
例：
在给定的序列{1,2,3,4,5,6}组成的全排列中,计算3 5 6 2 1 4对应的康托展开值
* V = 2*5! + 3*4! + 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0!
= 240 + 72 + 18 + 2 + 0 +0
= 332
ps：求得的康托展开值是从0开始的，也就意味着 V+1才是相应的排列在原序列中的字典序排名
康托展开代码：
1 int cantor(int *a,int n) { ///a[]:原数组,下标从1开始 2 int ans=0; 3 for(int i=1;i<n;i++) { 4 int m=1,rk=0; 5 for(int j=i+1;j<=n;j++) { 6 if(a[j]<a[i]) 7 rk++; 8 m*=(j-i); ///阶乘 9 } 10 ans+=rk*m; ///据公式X = A[0] * (n-1)! + A[1] * (n-2)! + … + A[n-1] * 0! 11 ///A[i] = rk 12 } 13 return ans+1; ///ans+1,即为原序列在全排列中的次序 14 }
逆康托展开：
给定全排列大小n,字典序k,求字典序为k的排列
例：
在{1,2,3,4,5,6}中给出字典序排名为666可以算出排列组合为6 3 4 5 2 1
具体过程：
666 - 1 = 665;
665 / 5! = 5 余 65 说明首位排名第 6 ，即首位为6；
65 / 4! = 2 余 17 说明第二位排名第 3 ，即第二位为3；
17 / 3! = 2 余 5 说明第三位排名第 3 ，即第三位为4；
5 / 2! = 2 余 1 说明第四位排名第 3 ，即第四位为5；
1 / 1! = 1 余 0 说明第五位排名第 1 ，即第五位为2；
最后一位即为剩下的1。
逆康托展开代码：
1 void decantor(int x,int n,int *a) { 2 bool vis[10]; 3 memset(vis,false,sizeof(vis)); 4 for(int i=0;i<n;i++) { 5 int rk=x/f[n-i-1]; 6 for(int j=0;j<=rk;j++) ///与上述同理,已访问过的数不在序列中，所以要将rk++ 7 if(vis[j]) rk++; 8 a[i]=rk+1; ///求得的rk是比A[i]小的数的个数，所以A[i]=rk+1 9 vis[rk]=true; 10 x%=f[n-i-1]; 11 } 12 }
下面给出完整代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 int f[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; ///算出1-9的阶乘，0的阶乘用1代替 6 int cantor(int *a,int n) { 7 int ans=0,rk; 8 for(int i=1;i<n;i++) { 9 rk=0; 10 for(int j=i+1;j<=n;j++) ///计算位于i后面的数小于a[i]的个数,rk即为i的排名 11 if(a[j]<a[i]) 12 rk++; 13 ans+=rk*f[n-i]; ///据公式X = A[0] * (n-1)! + A[1] * (n-2)! + … + A[n-1] * 0! 14 ///A[i] = rk 15 } 16 return ans+1; ///ans+1,即为原序列在全排列中的次序 17 } 18 void decantor(int x,int n,int *a) { 19 bool vis[10]; 20 memset(vis,false,sizeof(vis)); 21 for(int i=0;i<n;i++) { 22 int rk=x/f[n-i-1]; 23 for(int j=0;j<=rk;j++) ///与上述同理,已访问过的数不在序列中，所以要将rk++ 24 if(vis[j]) rk++; 25 a[i]=rk+1; ///求得的rk是比A[i]小的数的个数，所以A[i]=rk+1 26 vis[rk]=true; 27 x%=f[n-i-1]; 28 } 29 } 30 int main() 31 { 32 int t,n,oper,a[11],v; 33 cin>>t; 34 while(t--) { 35 cin>>oper; 36 if(!oper) { 37 cin>>n; 38 for(int i=1;i<=n;i++) 39 cin>>a[i]; 40 cout<<cantor(a,n)<<endl; 41 } 42 else { 43 cin>>n>>v; 44 decantor(v-1,n,a); 45 for(int i=0;i<n;i++) 46 cout<<a[i]<<' '; 47 cout<<endl; 48 } 49 } 50 return 0; 51 }
