数字的二进制拆分

• 题目描述
  一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
  7=1+2+4
  7=1+2+2+2
  7=1+1+1+4
  7=1+1+1+2+2
  7=1+1+1+1+1+2
  7=1+1+1+1+1+1+1
  总共有六种不同的拆分方式。用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

• 题目分析
  记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：

  f(2m + 1) = f(2m)，
  f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
  初始条件：f(1) = 1。

  证明:

  证明的要点是考虑划分中是否有1。

  记:
  A(n) = n的所有划分组成的集合，
  B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
  C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
  则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

  又记:
  f(n) = A(n)中元素的个数，
  g(n) = B(n)中元素的个数，
  h(n) = C(n)中元素的个数，
  易知: f(n) = g(n) + h(n)。

  以上记号的具体例子见文末。

  我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
  首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
  其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
  综上，f(2m + 1) = f(2m)。

  接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
  把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
  把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
  综上，g(2m) = f(2m - 1)。

  把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
  把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
  综上，h(2m) = f(m)。

  所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。

点击查看代码

#include<stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
	int num;
	int dup[1000001];
	dup[0] = 0;
	dup[1] = 1;
	dup[2] = 2;
	for (int i = 3; i < 1000000; i++)
	{
		if (i % 2 == 1)
		{
			dup[i] = dup[i - 1] % 1000000000;
		}
		else
			dup[i] = (dup[i / 2] + dup[i - 1]) % 1000000000;
	}
	while (scanf("%d", &num) != EOF)
		printf("%d\n", dup[num]);
	return 0;
}