NOI1999 钉子与小球 - 动态规划

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16856

• 首先观察到碰到钉子时向左与向右为1/2，如果真的要算的话是分数计算，十分的麻烦，我们换一个思路，每下一层，原来的小球一分为二，分裂成两个，这样就与1/2的概率相符合，只要最后计算出每个方格的小球数量，最后累加起来得到小球数量的和，每个方格的球数除以总和就是概率，因为最后一行是方格，我们把其也看做钉子，那么就可以在dp过程中直接获得球数
• 当(i,j)处的钉子不存在时，(i,j)的球都会落到(i+2,j+1)（注意不是j）处，也就是球竖直下降了2层。另外，经过一层后1个球会裂开分成2个，穿过两层后1个球裂成的4个都落进了(i+2,j+1)，即dp[i+2][j+1]+=dp[i][j]*4
• 当(i,j)处的钉子存在时，dp[i+1][j]+=dp[i][j]，dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]；

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll dp[52][52];
char a[52][52];
int n,m;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0)    return a;
    else    return gcd(b,a%b);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> n >>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(a[i][j]=='*'){
                dp[i+1][j]+=dp[i][j];
                dp[i+1][j+1]+=dp[i][j];
            }
            else if(a[i][j]=='.'){
                dp[i+2][j+1]+=dp[i][j]*4;
            }
        }
    }
    ll sum=0;
    for(int j=0;j<=n;j++)    sum+=dp[n][j];
    ll g=gcd(dp[n][m],sum); 
    cout << dp[n][m]/g << "/" << sum/g << "\n"; 
    return 0;
}