van Emde Boas trees 支持所有优先级优先级队列的操作，并且巧妙的是它对于SEARCH, INSERT,DELETE,MINIMUM,MAXMUN,SUCCESSOR,和PREDECESSOR这些操作的支持都在最坏复 杂度O(lglgn)之内。不过有些限制的是，所有的Kye值都必须在 0…n−1之间，且不能有重复值。换言之，他的算法复杂度不由数据的规模 有多 大而决定，而由key值的取值范围而决定。
算导上这一章的讲述方式我非常喜欢，循序渐进，从最基础最简单的一个结构开始，最终 演化成Van Emde Boas trees，这样的方式更能让人捕捉到发明人思路发展的一个演变过 程，毫无疑问，这一章得多记点笔记。
## 基础方法 ##
这部分会有三种方法来存储动态集合，尽管它们没有一个能达到O(lglgu), 但是通过这三种方法却能让我们得到理解Van Emde Boas trees的真知灼见
## Direct Address ##
Direct Addressing提供一种最简单的方法来存储一组数据。Direct Addressing直接用 一个大小为u的位数组A[0..u−1]来存储这组属于集合{0,1,2,…,u−1}的数。如果这组数中有x,那么A[x]的值存1， 否则存0。
这种简单粗暴的方法，显然不能达到预期。对于INSERT、DELETE、MEMBER这些操作复杂 度在O(1)内。而对于MINIMUM、MAXMIMUM、SUCCESSOR、PREDECESSOR这些操作 每一个都要θ(u)。我们不妨对Direct Addressing进行改进一下。几个 θ(u)的操作皆因必须对数组进行迭代才能得到结果的缘故。那么如果我 们在Direct Addressing之上建立一棵二叉树想必有所改善。
## Superimposing a binary tree structure ##
二叉树中的结点存储着0或1，当两个孩子中有一个为1时它为1，只有当两个孩子都为0 的时候它才为0。
在Direct Addressing中花费θ(u)的操作，依赖于这棵二叉树现在都有了 一个更低的上限O(lgu)。但这个上限还并不理想，不然我们不如使用一棵 红黑树，好歹人家还是O(lgn)的上限。如果把这棵树的高度降低，说不定 是一个突破口，姑且试试。
## Superimposing a tree of constant height ##
要降低树的高度，我们可以直接通过增加树的度数来实现，将二叉树将变为多叉树。假 设全域的大小是u=22k,其中k是一个整数，那么u√ 也是一个整数。
和在位数组上建立一棵二叉树不同，现在我们在位数组上建立一棵度数为u√ 的树，如下图(a)。这棵树的高度是2。树中的每个结点存储了各子树的逻辑与结果。
如下图(b)所示，可以将那些结点看作是一个数组summary[0..u√−1],当 且仅当A[iu√..(i+1)u√−1]含1,summary[i]才为1。
我们把A中的u√位的子数组称为簇，对于一个给定值x, 位A[x]存在于第⌊x/u√⌋个簇中。现在INSERT将在 O(1)内完成——对于插入一个x,分别将A[x]和⌊x/u√⌋设为1。对于MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR、PREDECESSOR和 DELETE这些操作将花费O(u√)。具体操作不做赘述。
比起Superimposing a binary tree，现在的结构似乎反而更糟了，前者最差劲的操作 也只要lgu,现在都要u√了，但是透过这个结构带来了一点 新的想法，如果我们把数组summary也变作一个Superimposinga tree of constant height怎么样，一路递归下去情况会如何?
## A recursive structure ##
前面用u√度数的树给了我们一个启示，假如我们能够把问题的规模以开* 方的规模缩小的话，会有一个什么效果？假设我们能做到以开*方的规模递归减小一个 数据结构的规模，而且每个操作在每一级递归上只产生一次新的递归调用，那么 对于一 个大小为u的数据结构的操作有： [ T(u) = T(\sqrt{u}) + O(1) ] 令m=lgu, 有u=2m。那么可以有： [ T(2^m) = T(2^{m/2}) + O(1)] 设S(m)=T(2m),可得新方程： [ S(m) = S(m/2) + O(1)] 可以得出S(m)=O(lgm),回到T(u)上来，那么 T(u)=T(2m)=S(m)=O(lgm)=O(lglgu)。
这个假设说明如果我们能够以递归方式以开*方的规模来缩小数据的规模大小，并在每 一级递归上花费O(1)的时间的话，我们这个假设的数据结构的操作的复杂度将 是O(lglgu)。
围绕方程 T(u)=T(u√+O(1)),我们来设计一个递归的数据结构，以开 *方的规模来减小每一次递归的大小。当然，我们可能不能一步达到让所有的操作都达 到O(lglgu),但是我们还是可以先设计出一个原型。自u起，我们 用一个u√=u1/2项的数据结构来持有u1/4项的，以 u1/4项的递归持有u1/8项的，以u1/8项的递归持有 … u=22k，如此，u1/2，u1/4,u1/8,…都为整数。
对于一个全域为{0,1,2,…u−1}的van Emde Boas数据结构为原 型，我们简称为proto-vEB(u)。它遵循以下这些规则：
如果u=2,那么已是基础大小，那么它包含两个标志位A[0…1]
否则，u=22k, 且整数k≥1, 所以u≥4， 这时，proto-vEB(u)包含两个属性:
一个名为summary指向proto-vEB(u√)的指针。
一个u√大的指针数组cluster[0…1]，其中每一个指 针指向一个proto-vEB(u√)。
如果cluster的第i个指针所指向的的集合含有元素，那么i也存在于summary所指向 的集合中，否则i也不存在于summary中。
对于一个u=16的集合{2,3,4,5,7,14,15}情况就是 下面这样的：
在proto-VEB(u)中，一个给定值x,那么他应该储存在proto-VEB(u)中cluster的 第⌊x/u√⌋个指针指向的proto-VEB(u√) 的第xmodu√个值。鉴于此，在分析各项操作之前，先定义几个有用 的工具函数： [ high(x) = \lfloor{x} / \sqrt{u} \rfloor ] [ low(x) = x \mod \sqrt{u} ] [ index(x, y) = x\sqrt{u} + y ]
## 判断一个值是否存在 ##
PROTO-VEB-MEMBER(V, x)
if V.u == 2
return V.A[x]
else
return PROTO-VEB-MEMBER(V.cluster[high(x)], low(x))1
## 找最小值 ##
从summary中得到最小值i，那么最小值必定存在于cluster[i]所表示的集合中， 在从cluster[i]表示的集合中得到最小值，结合i值可以得到全局的最小值。伪 码：
PROTO-VEB-MINIMUMN(V)
if V.u == 2
if V.A[0] == 1
return 0
else if V.A[1] == 1
return 1
else
return NIL
else
min-cluster = PROTO-VEB-MINIMUM(V.summary)
if min-cluster == NIL
return NIL
else
offset = PROTO-VEB-MINIMUN(V.cluster[min-cluster])
return index(min-cluster, offset)复杂度 [ T(u) = 2T(\sqrt u) + O(1)] 设u=2m [ T(2^m) = 2T(2^{m/2}) + O(1)] 设S(m)=T(2m),得： [S(m) = 2S(m/2) + O(1)] [T(u) = S(m) = \theta(m) = \theta(lg u)]
## 找X的后继 ##
1.从x所在的子集中找后继
2.找不到的话，先从summary中得到下一个子集的索引，从下一个子集中找最小值。
3.转换成全局的值。
PROTO-VEB-SUCCESSOR(V, x)
if V.u == 2
if x == 0 and V.A[1] == 1
return 1
else
return NIL
else
offset = PROTO-VEB-SUCCESSOR(V.cluster[high(x)], low(x))
复杂度: [ T(u) = 2T(\sqrt u) + \theta(\lg{\sqrt u})] [ = 2T(\sqrt u) + \theta(\lg u)] 用与前文类似的方法可以化得T(u)=θ(lgulglgu)
## 插入元素 ##
一路向下递归插入，并将summary相应设为1即可。
PROTO-VEB-INSERT(V, x)
if V.u == 2
V.A[x] = 1
else
PROTO-VEB-INSERT(V.summary, high(x))
PROTO-VEB-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x))VEB-EMPTY-TREE-INSERT(V, x)
V.min = x
V.max = x
VEB-TREE-INSERT(V, x)
if V.min == NIL
VEB-EMPTY-TREE-INSERT(v, x)
else if x < V.min
exchange x with V.min
if V.u > 2
if VEB-TREE-MINIMUN(V.cluster[high(x)]) == NIL
VEB-TREE-INSERT(V.summary, high(x))
VEB-EMPTY-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x))
else
VEB-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x))
if x > V.max
V.max = x复杂度和PROTO-VEB-MINIMUN一样 [ T(u) = 2T(\sqrt u) + O(1)] 即 θ(lgu)
## 删除元素##
相对于插入，删除要麻烦一点，因为不能直接从summary中删除元素。要确保相对应的 cluser所代表的子集不包含任何元素才能在smmary中置0。探查一个proto-VEB是否只 包含一个元素，以目前的结构可以有几种方式，但没有一种快于 θ(lgu) 的方式。也就是说PROTO-VEB-DELETE注定要超过 θ(lgu)。这儿先别急 着实现proto-VEB的删除操作，先来回顾一下，所有的基本操作我们都已经分析过一遍 了。拿最大值、最小值很慢，拿前驱、后继很慢，插入删除也要比预期的慢，似乎除 了MEMBER操作，所有的操作都很慢，但是仔细分析发现，找前驱慢是因为取最小值太 慢了，找后继慢是因为取最大值太慢了。插入慢是因为要额外对summary执行一次插入， 删除慢是因为对这个结构的判空慢，实际上插入和删除慢是因为同一个问题，没法快 速知道一个proto-VEB的尺寸和极限值。归根结底，这些操作慢的症结在于，没法快速 知道最大值最小值，因为知道最大值最小值以后，尺寸便能在θ(1)之内得 到了。既然如此，我们不如直接将最大值，最小值直接记录在proto-VEB的结构中。 Van Emde Boas Trees的最终模型就得到了，给proto-VEB添加记录最大值和最小值的 两个属性。
The van Emde Boas tree
先约定，将van Emde Boas tree简称为vEb。
在给proto-VEB加上min和max两个属性之前,还得有一个问题要解决，proto-VEB 要求 u=22k，这个要求显然有点太过苛刻了，现在我们把这个范围放宽到 u=2k。放宽要面对的第一个问题就是u√不一定是整数了，解决的 办法便是，我们的规模不再要求以开*方的规模来缩小了，而是以接*开*方的规模缩 小，简言之，原来将proto-VEB(u)分解为u√个proto-VEB(u√), 现在则是将vEB(u)分解成⌈(lgu)/2⌉个 vEB(⌊(lgu)/2⌋)。直观起见，将 ⌈(lgu)/2⌉用u√↑表示,将 ⌊(lgu)/2⌋以u√↓表示， u=u√↑⋅u√↓.
相较于proto-VEB结构上有以下两个变化：
增加min和max两个属性
对于u=2的VEB来说，不需要数组A[0..1]了，因为min和max足以来 记录两个值。
对于u>2的VEB来说，min不储存在任何一个cluster中，但是max值要， 为什么这么做，可以让在空集合中插入元素和删除集合中唯一元素的操作都为 O(1)。
重新定义一下几个方法： [high(x) = \lfloor x / \sqrt[\downarrow] u \rfloor] [low(x) = x \mod \sqrt[\downarrow] u] [index(x, y) = x \sqrt[\uparrow] u + y]
VEB-TREE-DELETE(V, x)
if V.min == V.max
V.min == NIL
V.max == NIL
else if V.u == 2
if x == 0
V.min = 1
else
V.min = 0
V.max = V.min
else if x == V.min
first-cluster = VEB-TREE-MINIMUN(V.summary)
x = index(first-cluster, VEB-TREE-MINIMUN(V.cluster[first-cluster]))
V.min = x
VEB-TREE-DELETE(V.cluster[high(X)], low(x))
if VEB-TREE-MINIMUN(V.cluster[high(x)]) == NIL
VEB-TREE-DELETE(V.summary, high(x))
if x == V.max
summary-max = vEB-TREE-MAXIMUN(V.summary)
if summary-max == NIL
V.max = V.min
else
V.max = index(summary-max, vEB-TREE-MAXMIMUN(V.cluster[summary-max])) 
