0.999...=1 分别用小学，初中，高中，大学证法证明

小学

因为 \(\frac{1}{3} = 0.333 \cdots\)，依据等式的基本性质， \(\frac{1}{3} \times 3 = 0.333 \cdots \times 3\) ， \(\frac{1}{3} \times 3=1\)，0.333... × 3 = 0.999...，所以0.999... = 1。

初中

令 x = 0.999...，则 10x = 9.999...，后者减去前者，得到 10x - x = 9，即 9x = 9，所以 x = 1。

高中

\[\begin{aligned} 0.999\cdots &= 0.9 + 0.09 + \cdots + \underset{\infty }{\underbrace{0.00 \cdots 0}}9 \\ &= \underset{\infty }{\underbrace{9 \times 10^{-1} + 9 \times 10^{-2} + \cdots + 9 \times 10^{-n}}} \\ &= \sum_{i=1}^{\infty } 9 \times 10^{-i} \\ &= \lim \limits_{n \to \infty}\frac{9 \times 10 ^ {-1}(1 - 10^{-n})}{1 - 10^{-1}}\\ &= 1. \end{aligned} \]

大学

因为对于所有的正整数 n ，有\(\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{999 \cdots 9}} - 1 \right | < 1\)，故 ∀ ε > 0，不妨设 ε < 1，要使 \(\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{99 \cdots 9}} - 1 \right | = \frac{1}{10^{n}} < \varepsilon\) ，只要 \(n > \frac{-\ln \varepsilon }{\ln 10}\)，取\(N = \left [ \frac{-\ln \varepsilon }{\ln 10} \right ]\) ，则当 n > N 时，恒有 \(\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{99 \cdots 9}} - 1 \right | < \varepsilon\)，故 \(\lim \limits_{n \to \infty} 0.\overset{n个}{\overbrace{ 99 \cdots 9 } } = 1.\)