证明0.999...=1 《高等数学》复旦版黄立宏第四版

根据数列极限的定义证明：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}0.\stackrel{n\mathrm{个}}{\overbrace{99\cdots 9}}=1.$

证明：因为对于所有的正整数 n ，有$|0.\stackrel{n\mathrm{个}}{\overbrace{999\cdots 9}}-1|<1$，故 ∀ ε > 0，不妨设 ε < 1，要使 $|0.\stackrel{n\mathrm{个}}{\overbrace{99\cdots 9}}-1|=\frac{1}{{10}^n}<\epsilon$ ，只要 $n>\frac{-\ln \epsilon }{\ln 10}$，取$N=\left[\frac{-\ln \epsilon }{\ln 10}\right]$ ，则当 n > N 时，恒有 $|0.\stackrel{n\mathrm{个}}{\overbrace{99\cdots 9}}-1|<\epsilon$，故 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}0.\stackrel{n\mathrm{个}}{\overbrace{99\cdots 9}}=1.$