cream 的qsqrt 及其原理

首先，是creamk 的qsort：

1. float Q_rsqrt( float number )
2. {
3. long i;
4. float x2, y;
5. const float threehalfs = 1.5F;
6. x2 = number * 0.5F;
7. y = number;
8. i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
9. i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
10. y = * ( float * ) &i;
11. y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
12. // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
13. #ifndef Q3_VM
14. #ifdef __linux__
15. assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
16. #endif
17. #endif
18. return y;
19. }

//这段代码求解的是1.0/sqrt(x);

以及c++中简单的实现代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

static float CarmackSqrt (float x) {        float xhalf = 0.5f * x;                  int i = *(int*)&x;           // get bits for floating VALUE         i = 0x5f3759df - (i>>1);     // gives initial guess y0        x = *(float*)&i;             // convert bits BACK to float        x = x*(1.5f - xhalf*x*x);    // Newton step, repeating increases accuracy        x = x*(1.5f - xhalf*x*x);    // Newton step, repeating increases accuracy        x = x*(1.5f - xhalf*x*x);    // Newton step, repeating increases accuracy        return (1 / x); }

     经过测试，这段代码是stl里的sqrt效率的4倍。辣么问题来了，为什么这段代码这么高效呢？

      首先，creamk用了求解平方根的一般方法：牛顿迭代法，其原理如下：

   

---

 

     设r是  的根，选取x0作为r的初始近似值，过点 做曲线  的切线L，L的方程为  ，求出L与x轴交点的横坐标  ，称x1为r的一次近似值。过点  做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标  ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中， 称为r的 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

    用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程  线性化的一种近似方法。把  在点x0 的某邻域内展开成泰勒级数

 

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

 

，以此作为非线性方程

  

的近似方程

  ，则其解

 

， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

 

。

   已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

  多次迭代后，数字必收敛于方程的根。

 

 

---

 

     第二点便是他用到了魔数0x5f3759df，使得迭代法效率大大上升，能仅用三步就算出sqrt。

    creamk寻找到这个数的过程至今令人匪夷所思，但即使是普渡大学的数学家Chris Lomont也没能找出效率比他高上多少的数字:

     普渡大学的数学家Chris Lomon在看了creamk的快速sqrt后觉得很有趣，决定要研究一下creamk弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont毕竟是一位数学家，在精心研究之后从理论上也推导出一个

          最佳猜测值，和creamk的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和creamk的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是creamk赢了。 谁也不知道creamk是怎么找到这个数字      的。

         最后Lomont发威了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比creamk的数字效率高一些的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

         Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

    在需要进行大数据量的sqrt运算时，creamk的qsqrt会比stl库中的 sqrt效率高出不知一星半点。

    所以当你觉得有必要用的时候，尽情的用它吧！