STFT短时傅立叶变换的局限性分析

STFT短时傅立叶变换的局限性分析

认识到傅立叶变换的关键局限性，即：缺乏空间分辨率，或者对于时域信号，缺乏时间分辨率。了解短时傅立叶变换（STFT）背后的逻辑，以克服这一限制。认可STFT中的时间和频率分辨率之间的转换。

傅立叶变换非常善于识别时域信号f（t）的正弦分量。然而，FT的基本构建块复指数在所有时间上振荡（在之间）。由于这个原因，FT难以表示在时间上局部化的信号。

局部化函数（如delta和rect）的FT跨越了所有频率范围。这种非正式的观察实际上反映了一个基本性质，傅立叶变换的（不确定性原理）。将描述一种基于傅立叶的方法来克服傅立叶变换的这一限制：短时傅立叶变换。此外，将说明描述可通过傅立叶分析，获得的可实现时间和频率分辨率的不确定性原理。

如何选择STFT窗口？

直观地说，如果期望某个感兴趣的信号具有快速波动的特性，应该使用窄窗口w（t）（以便实现精细的时间分辨率）。相反，如果期望信号具有缓慢波动的特性，应该使用宽窗口w（t）（以便实现精细的频率分辨率）。然而，通常没有选择STFT窗口的最佳方式。事实上，这个变换介于时间和频率之间，分辨率是STFT的基本特征。窗口宽度对时间和频率分辨率的影响如图16.1所示。此外，特定窗口形状对STFT的性能有额外的影响，如图2所示。

短时傅立叶变换

 

 FT不确定度原理：傅立叶分析的一个基本限制

 

 

图1：信号的DFT与STFT在一段时间内具有较高频率，然后切换到较低频率。请注意，DFT没有时间分辨率（所有时间一起显示在频率图中）。相反，STFT同时提供时间和频率分辨率：对于给定的时间，得到一个频谱。能够更好地用随时间变化的频谱来表示信号。然而，STFT在时间分辨率和频率分辨率之间进行了基本的权衡。这种交易是由STFT窗口的选择控制的（请注意，时间分辨率有所提高，但恶化了，使STFT窗口变窄时的频率分辨率）。

图1中，窗口宽度从256个样本到16个样本不等，导致时间定位（垂直轴）改善，但频率定位（水平轴）恶化。

如何克服不确定性原理？

STFT能够在时间和频率分辨率作为分析信号的一种方式。这个转换由STFT窗口的选择控制（例如：宽与窄），并受不确定性原理的限制（等式16.2）。

STFT的主要局限性在于它具有固定的时间分辨率。

 图2除了STFT窗口的总宽度外，特定的窗口形状决定了STFT的输出。该图比较了两种具有相同总宽度的STFT窗口选择，适用于上图1所示的信号。平坦（“精确”）窗口会导致更精细的频率分辨率，但会产生更多的振铃，而更锥形（在这种情况下为“汉宁”）的窗口会导致频率分辨率的一些损失，但会减少振铃。

做得更好？克服这一限制的一种潜在方法是计算一组STFT变换，每个变换使用不同的窗口宽度。通过这种方式，将执行一种多分辨率分析，在这种分析中，将在更高的空间位置，以更高的空/频分辨率分析低频和高频分量。

然而，这种方法是非常多余的，因为基本上需要3D分解（具有维度：时间、频率、窗口宽度）来分析1D信号。相反，希望以高空间分辨率分析高频分量（因为它们在时间上变化很快），而以低时间分辨率分析低频分量的方式来分解信号。换句话说，必须有更好的方式！这种更好的方法被称为小波分析。