主成分分析法（PCA）原理和步骤

主成分分析法（PCA）原理和步骤

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种多变量统计方法，它是最常用的降维方法之一，通过正交变换将一组可能存在相关性的变量数据，转换为一组线性不相关的变量，转换后的变量被称为主成分。
可以使用两种方法进行 PCA，分别是特征分解或奇异值分解（SVD）。

准备工作

PCA 将 n 维输入数据缩减为 r 维，其中 r<n。简单地说，PCA 实质上是一个基变换，使得变换后的数据有最大的方差，也就是通过对坐标轴的旋转和坐标原点的平移，使得其中一个轴（主轴）与数据点之间的方差最小，坐标转换后去掉高方差的正交轴，得到降维数据集。
这里使用 SVD 方法进行 PCA 降维，假定有 p×n 维数据样本 X，共有 p 个样本，每行是 n 维，p×n 实矩阵可以分解为：

这里，正交阵 U 的维数是 p×n，正交阵 V 的维数是 n×n（正交阵满足：UU^T=V^TV=1），Σ 是 n×n 的对角阵。接下来，将 Σ 分割成 r 列，记作 Σ_r；利用 U 和 V 便能够得到降维数据点 Y_r：

具体做法

1. 导入所需的模块，除了 TensorFlow，还需要 numpy 进行基本的矩阵计算，用 matplotlib、mpl_toolkit 和 seaborn 绘制图形：

1. 加载数据集，此处使用常用的 MNIST 数据集：                                                                                                                                                       
2. 定义类 TF_PCA，此类初始化如下：                                                                                                     
3. 定义 fit 函数，计算输入数据的 SVD。定义计算图，以此计算奇异值和正交矩阵 U，self._X 以占位符的形式读入数据 self.data，tf.svd 以递减顺序返回形状为 [...，p] 的奇异值 s（singular_values），然后使用 tf.diag 将奇异值转换为对角矩阵：                                                                                                                                      
4. 现在有了 sigma 矩阵、正交矩阵 U 和奇异值，下面定义 reduce 函数来计算降维数据。该方法需要 n_dimensions 和 keep_info 两个输入参数之一，n_dimensions 参数表示在降维数据中保持的维数，keep_info 参数表示保留信息的百分比（0.8意味着保持 80% 的原始数据）。该方法创建一个计算图，对 sigma 矩阵进行分割并计算降维数据集 YrTF_PCA 类已经准备就绪，下面会将 MNIST 的每个输入数据从维度为 784（28×28）减小到每个维度为 3。在这里为了对比效果只保留了 10% 的信息，但通常情况下需要保留大约 80% 的信息：TF_PCA 类已经准备就绪，下面会将 MNIST 的每个输入数据从维度为 784（28×28）减小到每个维度为 3。在这里为了对比效果只保留了 10% 的信息，但通常情况下需要保留大约 80% 的信息：
5.       TF_PCA 类已经准备就绪，下面会将 MNIST 的每个输入数据从维度为 784（28×28）减小到每个维度为 3。在这里为了对比效果只保留了 10% 的信息，但通常情况下需要保留大约 80% 的信息：                                                                                                                                                 

代码输出如下：

1. 绘制三维空间中的 55000 个数据点：
   

    

    

解读分析

前面的代码对 MNIST 图像进行了降维操作。原图的大小为 28×28，利用 PCA 方法把尺寸压缩得更小。通常在图像处理中经常用到降维操作，因为太大的图像尺寸包含大量的冗余数据。
TensorFlow 中的 embeddings 技术可以实现从对象到向量的映射，TensorBoard 中的 Embedding Projector 可以交互式地对模型的 embeddings 进行可视化，并提供了三种降维的方法：PCA、t-SNE 和自定义方式，可以使用 Embeddings Projector 来得到与上面类似的结果。
这需要从 tensorflow.contrib.tensorboard.plugins 中导入 projector，并且通过简单的三个步骤就可以完成：

1. 加载数据：                                                                                                                                           
2. 新建一个 metadata 文件（用制表符分隔的 .tsv 文件）：                                                                                                                                  
3. 将 embeddings 保存在 Log_DIR 中：
   
   现在就可以使用 TensorBoard 查看 embeddings 了，通过命令行 tensorboard--logdir=log，在 Web 浏览器中打开 TensorBoard，然后进入 EMBEDDINGS 选项卡。下图显示的就是使用 PCA 方法运算的前三个主成分为轴的 TensorBoard 投影：