二项式反演学习笔记

有点吊

所谓反演，就是一个f和g之间的关系。假如我们知道了f，那我们就知道了g，也就是说假如我们知道了f(x)那就知道了g(x)。

二项式反演用于解决“某个物品恰好若干个”这类计数问题。

二项式反演:
$f(n)=\sum^{n}_{i=0} {n\choose i} g(i)$
互相转化
$g(n)=\sum^{n}_{i=0} (-1)^{n-i} {n\choose i} f(i)$

1.我们设f(n)为<=n的方案的数量，g(n)为==n的方案的数量那么
$f(n)=\sum^{n}_{i=0} {n\choose i} g(i)$
$g(n)=\sum^{n}_{i=0} (-1)^{n-i} {n\choose i} f(i)$

2.我们设f(x)为>=x的方案的数量，g(x)为==x的方案的数量,x为上界那么
$f(x)=\sum^{x}_{i=n} {i\choose n} g(i)$
$g(x)=\sum^{x}_{i=n} (-1)^{i-n} {i\choose n} f(i)$

例题:
gym king's colors
题意:
用恰好k种颜色涂n个结点的树，相邻节点不能同色，问方案数。
题解

P4859：
设f(x)为>=x组，g(x)为恰好x组的方案数，那么
$f(x)=\sum^{n}_{i=x} {i\choose x} g(i)$
$g(x)=\sum^{n}_{i=x} (-1)^{i-x} {i\choose x} f(i)$
所以我们处理出组合数再搞一下f(i)
问题在于如何搞g(i)
首先对于两个数组排个序，利用双指针，求出p[i]为最后一个<a[i]的b中元素的下标
那么我们就有个dp，dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*(p[i]-j+1)，意思是分为有i的和没i的,i加入的方案是位置减去之前已经选过的数的数量。最后dp[i][j]还要乘上其他数两两配对的方案，预处理阶乘即可。

错牌问题:
题意：求有多少种长度为n的排列使得排列元素和其下标不同。
考虑普遍情况，那么就是求有多少种长度为n的排列存在k个数使得值和其下标不同。
我们设f(x)为不同量>=x的方案数,g(x)为不同量=i的方案数，那么
$f(x)=\sum^{n}_{i=x} {i\choose x} g(i)$
$g(x)=\sum^{n}_{i=x} (-1)^{i-x} {i\choose x} f(i)$
g(n)即为所求

P6478:
如果我们选定了了一个非平局状态，那么非平局时间只会提前。
所以我们设f(x)非平局回合数>=x的方案数，g(x)为非平局回合数==x的方案数
$f(x)=\sum^{x}_{i=n} {i\choose n} g(i)$
$g(x)=\sum^{x}_{i=n} (-1)^{i-n} {i\choose n} f(i)$
然后现在就是要求出非平局>=x的方案数，这个我们可以先钦定k个，其他随便放。
然后我们可以先$m^{2}$搞出大小关系，然后就有个树形dp。
设$dp_{u,i}$为子树u内有i对的方案数。
那么我们可以转移。$dp_{u,i}$有两种情况，一种是用了i一种是没用i，那么用了
我们先预处理出子树内白点和黑点数量，记为t1,t2。那么用了的情况就是树形背包容量为i，没用就是i-1然后再乘上下面的(t-i)种方案