P6601

我们发现每一时刻的小球位置只可能有两种，这和它瞬移的次数有关。在每个时刻内，都有两种可能的方案。对于每个时刻瞬移次数为奇数的概率就是$\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}[i\%2==1]$,偶数就是$\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}[i\%2==0]$
根据概率的定义和古典概型(每种方案选到的概率相等)，是总概率除以总方案数。那么答案就是$\frac{1}{2n(t+1)} \sum_{i=0}^{t} even_{i}^{2}+odd_{i}^{2}$考虑将mod 2拆掉$\frac{1-(-1)^{i}}{2}$那么答案就是$\frac{1}{2n(t+1)} \sum_{i=0}^{t} （\frac{1-(-1)^{i}}{2}*\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}）^{2}+（\frac{1+(-1)^{i}}{2}\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}）^{2}$

$$\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}[i\%2==1]$$

$$\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i}*\frac{1-(-1)^{i}}{2}$$

$$\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} p^{i}*(1-p)^{t-i} -\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{t} {n \choose i} (-p)^{i}*(1-p)^{t-i}$$

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-2p)^{t}$$

这就是奇数的情况

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-2p)^{t}$$

$$\frac{1}{2n(t+1)} \sum_{i=0}^{t} even_{i}^{2}+odd_{i}^{2}$$

$$\frac{1}{2n(t+1)} \sum_{i=0}^{t} (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-2p)^{t})^{2}+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-2p)^{t})^{2}$$

设 $$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}(1-2p)^{t}$$
原式

$$=\frac{1}{2n(t+1)} \sum_{i=1}^{t+1} (x-y)^{2}+(x+y)^{2}$$

$$=\frac{1}{n(t+1)} \sum_{i=1}^{t+1} x^{2}+y^{2}$$

$$=\frac{1}{4n(t+1)} \sum_{i=1}^{t+1} 1+(1-2p)^{2i}$$

$$=\frac{1}{4n(t+1)} (t+1+\sum_{i=1}^{t+1} (1-2p)^{2i})$$

等比数列求和
设 $$S=\sum_{i=1}^{t+1} (1-2p)^{2i}$$

$$(1-2p)^{2}*S=\sum_{i=1}^{t+2} (1-2p)^{2i}$$

$$S*((1-2p)^{2}-1)=(1-2p)^{2t+4}-(1-2p)^{2}$$

$$S=\frac{(1-2p)^{2t+4}-(1-2p)^{2}}{(1-2p)^{2}-1}$$

注意，这里从1开始到t+1是因为0时刻也可以瞬移，我们这里枚举的是瞬移的次数

参考nacly_fish的题解