hall 定理学习笔记

合集 - 学习笔记(14)

1.关于导数问题的一些粗浅思考2024-02-272.数论学习笔记2024-02-273.模拟退火学习笔记2024-02-274.单调队列+决策单调性dp学习笔记2024-02-275.前中后缀表达式学习笔记2024-02-276.关于dfs序求lca的一点思考2024-02-277.P1240+P1350+ AT_abc282_g得出的一些dp技巧2024-02-278.关于线段树合并维护树上信息的一点思考2024-02-279.关于一些合并操作加维护信息的一类题的思考2024-02-2710.状压dp学习笔记2024-02-2911.由POJ1821得出的一些dp优化技巧2024-02-2912.tarjan学习笔记2024-04-2113.manacher学习笔记2024-05-20

14.hall 定理学习笔记2024-07-29

收起

万恶之源

基本定义

完美匹配是指最大匹配数为min(|X|,|Y|)
也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。

定理内容

我们来假设X集合点少一点好了。X集合就当做有n个点。
那么二分图G存在完美匹配，则取任意正整数1<=k<=n，均满足我从X集合选出k个不同的点，那么它们连向的y集合的点个数不小于k。

证明

我只会一些乱来的证明，但是是严谨的

必要性

假如一个二分图G存在完美匹配，且不满足Hall定理。
那么对于某k个点，它们连向的都不足k个点。
那么它们是怎么都被匹配上的？？？
很显然必要性正确。

充分性

假如一个二分图G不存在完美匹配，且满足Hall定理。
那么假如有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点一定连向了至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，如果连向了在y集合内最大匹配内的点，那么就不符合hall定理。
那如果连向了在y集合内最大匹配外的点，那么这就不是最大匹配。
那么这个点在最大匹配中！所以一定有一个点和它匹配了。
看懂了吧！我们一定能推出矛盾！
所以充分性正确。