网络流大杂烩

合集 - 题解(40)
1.CF1656E（构造思想）2.P10178(构造思想)3.P10179（构造思想+实现）4.P3963 (平衡树思想)5.P10156（dp思想）6.P3939 (ds实现)7.CF776D（并查集思想）8.CF243A （拆位思想）9.ABC283E （dp思想）10.AT_joi2015ho_b （dp思想）11.P9588 （ds思想）12.CF482B （拆位思想+实现）13.U332154 carbon 题解（期望）14.U329011 trie pi 题解15.[ARC128D](计数dp)16.P1081 (倍增+代码实现技巧)17.CF1537D (博弈论+找规律)18.CF1557D （dx）(dp技巧)19.P3165/P2596（文艺平衡树套路）20.吉司机大杂烩21.ARC149C (构造)22.CF19D(树套树)
23.网络流大杂烩
24.U417376题解25.CF1748E(笛卡尔树)26.[CERC2019] Be Geeks!27.「Cfz Round 2」Binary28.CF1833G29.P1028230.CF1939C31.2024省选OIFC模拟T132.P140733.P10218 魔法手杖34.P165335.取模二题36.CF1699C37.ABC35238.P6627 [省选联考 2020 B 卷] 幸运数字39.P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士40.2024PKUSC游记
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最大流/费用流学习阶段

飞行员配对方案问题

首先我们将外籍飞行员连向源点，英国飞行员连向汇点，边权均为1，然后对于给定的关系，边权也为1。然后我们就求出了一次能派出的最多飞机数量，然后考虑怎么输出方案。如果一个外籍飞行员和英国飞行员的流量为1，那么这两个就配合，输出即可。

试题库问题

首先看这道题，是一个最大流问题。考虑最大流是什么，因为所有试卷都要被包含进去，所以最大流就是试卷的数量。然后每个类型连汇点，边权无限然后试卷连类型，边权为1，然后源点连试卷，边权为1，然后按照残量网络输出路径即可。

圆桌问题

看这道题，是个最大流问题。考虑最大流是什么，因为每个人都要入座，所以最大流就是人。然后公司连每个餐桌，边权为1。源点连每个公司，边权为公司人数。餐桌连汇点，边权为能容纳的元素，然后按照残量网络输出路径即可。

分配问题

看这道题，是个费用流问题。考虑最大流是什么。因为每个人都要干活，所以最大流就是人。然后源点连人，人连任务，跑下费用流就行了。

运输问题

看到货物供需平衡其实就可以往网络流这方面想了。看这道题，是个费用流问题。考虑最大流是什么。因为供需平衡，所以最大流就是货物。跑下费用流就行了。

餐巾计划问题

看这道题，是个费用流问题。考虑最大流是什么。因为要保证每天的餐巾都供的上，那么流就是每天的餐巾。然后先拆个点，将点拆为白天和晚上。首先这个送洗操作可以将一天的晚上连到后面的白天做到。原点向白天流的是新买的，源点向晚上流的是当天一共有多少餐巾，然后这些餐巾回流到下一天晚上或新一天的早上。然后白天连上汇点。这个建图还是比较独特的，但按照上面的步骤思考还是可以做出来的。在最后跑下费用流即可。

听了lay讲的课

网格染色型

方格取数问题

像这种有限制的方格问题我们基本都可以用网络流做，具体的就是对网格进行黑白染色，但这个染色不是随便染的，这个染色要保证从一个格子走到另一个格子时，两个格子异色。对于这道题，我们先假设所有点都可以选，然后减去那些不能选的格子。我们就是这样染色

然后相邻的黑白格子连边

然后我们会发现左边就是黑色格子，右边就是白色格子。点（后续会进行拆店）的容量就是该点的权值。我们要求一个最小割，就是将一些点割断，使得没有点之间互相连通，这里还用到了最小割的性质，割去的边必定是满流边（要么还是有联通，要么不是最小），然后这题就做完了

骑士共存问题

与上题相同的黑白染色方法

王者之剑

首先看题意，如果发现我们停留一秒，那么会发现一个很蠢的事。比如我们先在起点拿宝石，然后四周消失，然后停一秒，然后到四周，取的是0，因为这是偶数秒，那么四周又会消失，这样就不能取到其他东西了。所以这就是停留奇数秒的情况，这是肯定没有听偶数秒优的，所以这个就不用停。所以这题就变成了方格取数问题。

方格取数加强版

黑白染色，然后相邻各自之间连边，因为可以走k次，那边权容量为k,权值为w。但这里经过一次权值就会消失，所以我们可以连一条权值为w容量为1的边，和权值为0，容量为k-1。后然后跑一边费用流即可。

长脖子鹿放置

发现传统的黑白染色方法不再适用。于是我们可以随机找一个点，用你智慧的大脑跑一边模拟。就是钦定这个点是黑色，那么能到达的点就是白色。如果还有没有染色的点，那么就重复这个操作。或者还有一种方法，因为我们每次都向上或向下奇数行，所以我们可以对相邻行染色。又有一种染色方法，是非常神奇的。我们将图按照传统方法染色，然后将黑点和白点分开形成一张新图，发现不会有跨图的边，然后再每张图内部跑骑士共存问题就行了。

水晶 直接染色，然后就可以了

老C的方块


感觉比happiness简单qwq
看到是网格，想到染色。因为限制在四个格子内进行，所以考虑染成四种颜色，然后稍微跑下网络流就可以了。

不知道什么名字1

这样可以刻画的限制一般形如：如果一个元素被划入集合 𝑎，另一个元素被划入集合
𝑏 及之后，产生的代价。这里需要保证非负性。

happiness

反正不看题解写不出来。考虑要将一些元素划入两个集合，并产生一些代价。在一些元素共同在一个集合时，会产生一些代价。我们通常是这样做的:

使用最小割，考虑将尽可能小的流割掉。
和左边集合相连，代表选文，和右边集合相连，代表选理，中间小小的是共同在一个集合的代价。
如果两个人都选文，为了不连通，那么割掉的边就会是w4,w5,w6，如果有一条保留，那么就矛盾。
如果一个人选文，一个人选理，为了不连通，那么割掉的边就会是w2,w3,w4,w5，如果有一条保留，那么就矛盾。
其他同理。

线性规划

没学过，先咕着，但是听懂了一道题

志愿者招募

这题看起来十分困难，实则十分困难。考虑如何用网络流刻画这些条件。首先每天必须得有ai个人，那么我们希望流进这条边至少有ai的流量，同时流过还有费用，每类人可以工作一段天数，我们可以这样建模。

我们发现如果这样，那么就可以解决这个问题了。平的边代表天，弯的边代表人。

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